2.2 Stromdichte und Strom

      Der Strom durch eine Fläche A berechnet sich als Flächenintegral der Stromdichte.

( 2 - 1 )

      Ist die Stromdichte ungleichmäßig über einen Leiterquerschnitt verteilt (z.B. durch den Skineffekt), dann kann u.U., je nach analytischer Beschreibung der Verteilung, das Integral gelöst werden.

      Verallgemeinerte Problemstellungen zu symmetrischen Basisanordnungen (Kugelsymmetrie, Zylindersymmetrie) sind oft so angelegt, dass bei entsprechender Bezugsfläche (Kugeloberfläche, Zylindermantel) der Betrag der Stromdichte über dieser Fläche konstant ist. In diesen Fällen vereinfacht sich das Stromdichteintegral wieder zu einer einfachen Multiplikation

( 2 - 2 )

      2.2.1 Beispiel 1

      Ein Hochspannungsmast ist mit einem ideal leitfähigen, halbkugelförmigen Erder versehen. Durch einen Defekt kommt es zu einem Kurzschluss, bei dem der Kurzschlussstrom I _K ins Erdreich abfließt. Das Strömungsfeld bildet sich dabei ausschließlich in radialer Richtung im Erdreich aus.

      a) Wie groß sind Stromdichte und elektrische Feldstärke im Erdreich?

      b) Wie groß ist für die Fälle:

      1. Nasse Erde:

      2. Trockene Erde:

      die Schrittspannung U _S, wenn ein Unglücklicher mit einem Fuß direkt auf der Kante des Erders bei r = r ₀ steht und die Schrittweite s = 1 m beträgt, so dass der zweite Fuß bei r = r ₀ + 1 m aufsetzt?

      

       Lösung:

      a) Wählt man als Integrationsfläche für die Stromdichte eine Halbkugelfläche mit dem Radius r, so hat die Stromdichte an jedem Ort den gleichen Betrag und ist immer parallel zum Flächennormalenvektor.

      Das Skalarprodukt wird zu einem Produkt von Skalaren, die für gleiches r konstante Stromdichte kann vor das Integral geschrieben werden und das Integral über die Halbkugelfläche ergibt den bekannten Ausdruck für die halbe Kugeloberfläche.

      Stellt man die Gleichung nach der gesuchten Stromdichte um, ergibt sich

      Für die Feldstärke folgt

      b) Die Spannung wird aus dem Wegintegral der Feldstärke berechnet. Der Integrationsweg in radialer Richtung ist parallel zu und somit wird auch hier das Skalarprodukt zu einem Produkt von Skalaren.

      Einsetzen der Zahlenwerte:

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