Mensch und Mathematik. Edwin Gräupl
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mir kein Geld nicht!" als,,Gib mir Geld!" Setzt man nun „nie" wieder ein, so heißt es „Gib mir nie Geld!"
Somit wurde am Beispiel gezeigt, dass es Informationen gibt, die vorerst unbrauchbar sind, dann aber nach einer Umformung, der wir zustimmen können, verständlich und brauchbar werden.
Warum aber formuliert der Spielpartner seinen Zug nicht immer gleich für mich verständlich? Es gibt Situationen, für die die Antwort auf der Hand liegt, dann nämlich, wenn der Partner (oder Gegner) davon einen Vorteil hat.
1.2 Die physische Welt und ihr Informationsgehalt
Wichtiger für uns sind jene Spiele, in denen die Natur selbst als Spielpartner auftritt. Man wird einwenden, dass die Natur selbst keine Informationen formuliert, sondern dass ich es bin, der das Verhalten der Natur, also die Tatsachen, beschreibt. Ich brauche diese Beschreibung ja nur so zu formulieren, dass ich sie verwenden kann. Das ist nun aber oft nicht möglich, wie bereits ein einfaches Beispiel zeigt, etwa die Bestimmung der Entfernung Erde-Mond. Es kann hier keine Messung der fraglichen Größe selbst vorgenommen werden (gedacht ist an das Messen mit dem Maßstab), sondern es können nur Aussagen über greifbare Tatsachen gemacht werden, also Entfernungen auf der Erde, Blickwinkel zum Mond. Erst durch Umformung dieser Aussagen (die an Hand bestimmter Vorstellungen über die Raumstruktur vorgenommen werden) gelangt man zu einer brauchbaren Information, nämlich derart, dass die Entfernung in Metern angegeben wird.
Wir wollen nun versuchen, jene Informationen zu charakterisieren, deren Eigenschaft, zugleich wichtig und unverständlich zu sein, die Erfindung der mathematischen Methoden nahelegte.
Es gibt Aussagen, die sich mit den Empfindungen selbst, den Qualitäten, beschäftigen, und es gibt Aussagen, die zwischen den Empfindungen Beziehungen herstellen. Sie sind durch das folgende Kriterium zu unterscheiden: Für Aussagen der ersten Art ist die empfundene Qualität als solche wesentlich, während es bei Aussagen der zweiten Art nicht auf die Qualität selbst, sondern nur auf ihre Konstanz ankommt(1).
Damit ein Lebewesen sich in seiner Umwelt zurechtfinden kann, ist es notwendig, dass gleiche Bedingungen gleiche Empfindungen hervorrufen; die Qualität der Empfindung ist (in Grenzen) zur Orientierung, zur Ordnung der Eindrücke, nicht relevant. Wie steht es aber mit den Qualitäten selbst? Die Erfahrung lehrt, dass es etwa unmöglich ist, einem Blindgeborenen die Farbempfindungen mitzuteilen, sieht man von so schwachen Aussagen wie: „Grün ist angenehm" ab. Aber selbst solche Aussagen werden nicht von allen Empfindenden gebilligt. Daraus folgt, dass die empfundene Qualität in ihrem vollen Umfang nicht durch die Sprache mitteilbar ist und dass das Wenige, das mitgeteilt werden kann, keine allgemeine Zustimmung findet. Offenbar empfinden verschiedene Menschen verschieden. Objektiv überprüfbar können also nur Aussagen der zweiten Art sein, auf sie wird sich die Wissenschaft stützen.
Der normale Mensch hat die Wörter „kein", „ein", „zwei", „drei" und „viele" so zur Verfügung wie etwa „grün" oder „blau". Sein Gehirn befähigt ihn, sie einer Situation unmittelbar zu- oder absprechen zu können. („Da ist kein Haus." „Der Baum ist grün." „Dort sind zwei Wolken.") Es muß dabei allerdings gesagt werden, dass die Eindrücke „zwei", „drei" usw. von der Grundstimmung des Urteilenden abhängen, also von der Art, wie er die Welt sieht. Je nachdem, worauf seine Aufmerksamkeit gerichtet ist und was er als für sich bestehenden Aspekt der Welt zu betrachten gewohnt ist, wird er unter sonst gleichen Bedingungen z. B.: „kein" oder „drei" empfinden („Da ist kein Gasthaus." „Da sind drei Wegweiser"). Wie bereits erwähnt, betrachten wir nun nicht die Qualität der Empfindung, die wir haben, wenn wir etwa „zwei" mit Recht zusprechen, sondern Relationen zwischen diesen Empfindungen. Zum Beispiel interessiert es uns, dass man, wenn man zu zwei Dingen ein Ding dazugibt, die Empfindung „drei Dinge" hat.
Es hat sich nun gezeigt, dass man durch Ausweitung der Wortfamilie „kein", „ein" usw. mächtige Werkzeuge erhält, die den Aufbau technischer Zivilisationen ermöglichen, die dem Menschen - nach verbreiteter Ansicht - Vorteile im „Lebensspiel" gewähren. So wie aus zwei Dingen, die um ein Ding vermehrt werden, drei Dinge entstehen, führen wir , ,vier" als Vermehrung von „drei" ein und so weiter. Diese Wörter gehören aber alle zur Empfindung „viele", unser Gefühl leitet uns nicht in ihrem korrekten Gebrauch. Aussagen der zweiten Art, in denen Wörter der erweiterten Familie „kein", „ein" usw. vorkommen, wollen wir Aussagen mit quantitativen Relationen nennen. Da sie einerseits besonders nützlich, andererseits aber im Gebrauch sehr schwierig sind, liegen sie ja außerhalb der Automatik unseres Gehirns, bedürfen sie, um sie brauchbar zu machen, ganz besonders der Umformung.
1.3 Die Grenzen der Autarkie
Kann nun jedermann bei Bedarf die nötige Umformung selbst vornehmen? Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir diese Operation genauer betrachten. Weiter oben wurde bereits erwähnt, dass eine unverständliche Information in den uns interessierenden Fällen aus wohlbekannten Zeichen aufgebaut ist, deren Zusammenwirken von unserem Gehirn nicht mehr automatisch überblickt werden kann. Dieses Zusammenwirken, das die Mitteilung konstituiert, muss in solchen Fällen nun bewusst und schrittweise unter Beachtung der Verwendungsregeln der Einzelzeichen aufgebaut werden, solange bis die Information verständlich wird. Dabei ist, wie schon angedeutet, wohl klar, wie mit den Zeichen umgegangen werden muß, aber woher weiß man, was man tun soll? Ein einfaches Beispiel möge diesen Sachverhalt etwas veranschaulichen.
Es wird mit Zündhölzern folgende „Gleichung" auf den Tisch gelegt: VII = I. Diese falsche Behauptung soll nun durch Umlegen eines Streichholzes in eine wahre Aussage verwandelt werden. Man weiß genau, wie man mit einem Streichholz hier umzugehen hat (man nimmt es an einer Stelle fort und legt es an anderer Stelle wieder nieder), aber man weiß durchaus nicht, was man zu tun hat, soll heißen: Welches Streichholz soll wohin gelegt werden? Welche Methoden wendet man nun in einem solchen Fall an?
bis der Erfolg erreicht ist, also zu probieren. Natürlich kann ich mir das jeweilige Umlegen eines Hölzchens auch nur vorstellen. Rationeller wird dieser Lösungsweg dadurch, dass man durch vorhergehende Überlegung, welche Figuren hier überhaupt in Frage kommen, das Probieren, sei es nun nur gedacht oder auch tatsächlich ausgeführt, einschränkt und leitet. Schließlich und endlich gibt es auch die Möglichkeit, dass man jenen Teil der Struktur der Lösung, der schon vorliegt, ohne Überlegung (= „inneres" Probieren) als solchen erkennt und die Lösung plötzlich angeben kann: VT= I (Wurzel aus eins ist gleich eins). Kehren wir nun zur Frage zurück, ob jedermann bei Bedarf die nötigen Umformungen vornehmen könne.
Wie unser Beispiel zeigt, gibt es da einmal das triviale Hindernis des Zeitmangels, hinter dem allerdings oft genug eine bedrohliche und unwürdige Lebenssituation steht. Noch zwei weitere Schwierigkeiten treten oft auf, nämlich allzu grosse Komplikation der Regeln zur Verwendung der Einzelzeichen und dann der Mangel einer Idee (des plötzlichen Erkennens einer Struktur). Diese Hürden vermag, wenn überhaupt, nur ein Mensch zu nehmen, der viel Übung in solchen Dingen und einen dazu besonders geeigneten Verstand hat. Wie man hier deutlich sieht, kann also erst eine arbeitsteilige Gesellschaft an die Umformung schwierigerer Informationen gehen.
Es liegt nun in der Natur des menschlichen Lebens, dass sich bestimmte Probleme in ähnlicher Form immer wieder stellen. Hier eröffnet sich dem, der so ein Problem zu bewältigen vermochte, eine große Möglichkeit. Wenn es ihm nämlich gelingt, sich selbst den Ablauf der Problemlösung verständlich und bewusst zu machen, so kann er einen Algorithmus entwickeln.
Unter Algorithmus versteht man ein mitteilbares (lehrbares) Verfahren zur Problemlösung.
Ein derartiges Verfahren beseitigt die Notwendigkeit des planlosen Probierens oder des oft vergeblichen Wartens auf eine Idee. Ein einfaches Beispiel für einen Algorithmus ist das übliche Divisionsverfahren.
Es wäre ein großer Irrtum anzunehmen, dass es einfach sei, aus einer speziellen Problemlösung den allgemeinen Algorithmus abzulesen, oder dass heute alle bekannten Problemlösungen bereits als Teile von Algorithmen erkannt worden wären. Bei vielen Problemen bedarf es noch immer der in jedem Spezialfall neuen Idee, die man nicht erzwingen kann. Algorithmen sind ihrer Natur gemäß in ihrer Struktur