Обратите внимание: насколько просты первые четыре постулата, настолько же сложен пятый постулат. Фактически он означает, что через точку, лежащую вне прямой, проходит на плоскости только одна параллельная[1] прямая, а все прочие при своем продолжении данную прямую пересекут.

      Сколько существовала геометрия, столько геометры пытались доказать этот постулат, исключить его из списка аксиом и перевести в теорему. Но и самые изощренные математики или допускали ошибку в доказательствах, или приходили к мысли о невыполнимости задачи. Так может быть, пятый постулат недоказуем? Если это так, то значит, он совершенно независим от остальных постулатов – от основ абсолютной геометрии.

      Попытки ученых в течение двух тысячелетий, несмотря на отрицательный результат, не были напрасны, ибо в конечном счете привели-таки к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной, создав неевклидову геометрию.

      Геометрия Лобачевского

      Первым математиком, разорвавшим путы евклидовой геометрии, оказался русский ученый Николай Лобачевский.

      Он пошел от обратного: предположил, что на плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, нигде не пересекающих данную прямую [2].

      Выдвинув вместо пятого постулата свое допущение, Лобачевский сразу же расстался с привычным евклидовым пространством и открыл существование нового пространства, не похожего на то, в котором мы живем. И в этом пространстве совершенно иной образ принимает плоскость, которую назвали плоскостью Лобачевского.

      Давайте в плоскости Евклида (на листе бумаги) начертим прямую[2] линию и точку над ней, а из точки проведем веер прямых, расходящихся в разные стороны. В этой евклидовой плоскости действительно только одна из веера линий, проходящих через точку, будет параллельна исходной прямой.

      А теперь мысленно перенесем наш рисунок на плоскость Лобачевского. Это можно сделать только мысленно. Ибо любой перенос линии или геометрической фигуры из евклидова пространства в пространство Лобачевского может быть только условным. Действительно, если на евклидовой плоскости изобразить уже знакомый нам чертеж – исходную прямую, а над ней пучок проходящих через одну точку прямых, но принадлежащих плоскости Лобачевского, то поскольку, согласно постулату Лобачевского, они не должны пересекать исходную прямую, мы вынуждены будем их искривить. И у плоскости Лобачевского появилась кривизна.

      Хорошим примером плоскости Лобачевского является особая кривая поверхность, которую называют псевдосферой – она похожа на колпак с загнутыми краями (см. фото на вклейке).

      Линии кратчайших расстояний на ней (то есть прямые) будут подчиняться законам Лобачевского, а не Евклида; стороны треугольников в этой плоскости будут зависеть от углов, пятый постулат окажется неверен, и параллельных у данной исходной прямой будет две.

      Искривление пространства прямо следует из основного уравнения Лобачевского. В этом уравнении появилась некая постоянная величина, имеющая физический смысл радиуса кривизны. Теоретически этот радиус может иметь разные значения, и каждому из них будет соответствовать свое искривленное пространство.