Алгоритмы развития. Н. Н. Моисеев
Читать онлайн книгу.
мы определяем функционал уже на множестве функций, удовлетворяющих уравнениям движения. Мне кажется, что обсуждаемый факт связан с общим стохастическим фоном любого явления, случающегося в нашем мире.
Заметим, что, никогда специально не формулируя, мы всегда пользуемся еще одним подобным принципом – «принципом устойчивости», который также связан со стохастичностью нашего мира. Этот принцип я бы сформулировал так: множество реально наблюдаемых стационарных состояний включает в себя лишь устойчивые состояния. Он тривиален, если учесть, что любая система все время подвержена действию случайных возмущений. В самом деле, мы никогда не наблюдаем карандаша, стоящего на своем острие, или маятника в его верхнем, неустойчивом состоянии.
Вариационные принципы возникли в механике и сыграли выдающуюся роль в ее развитии и создании эффективных численных и аналитических методов решения различных прикладных задач. В последующем вариационный подход широко использовался и при создании более сложных физических теорий. На этом пути очень важные результаты были получены еще в 1931 г. создателем неравновесной термодинамики Л. Онсагером, который сформулировал следующий вариационный принцип15: при постоянных условиях на границе некоторого объема V имеет место равенство
где σs – производство энтропии, Ф – функционал рассеяния, а δ означает обычный символ варьирования. Из (1), как это показал Бёрёш16, могут быть выведены уравнения Навье – Стокса. В 1947 г. И. Р. Пригожиным для стационарных условий был получен другим путем принцип, который был назван им принципом минимума производства энтропии17:
Оказалось, что при изученных условиях принципы (1) и (2) эквивалентны. Этот факт установил И. Дьярмати18.
Работы Онсагера, Пригожина и их последователей имели своей Целью построение «классических» вариационных принципов, т. е. таких, из которых следовали бы законы сохранения, т. е. уравнения, описывающие движение среды. Другими словами, ими была сделана попытка построить принципы, носящие достаточно универсальный характер, такой, как и принципы механики. Однако для их вывода потребовалось сделать ряд серьезных предположений об особенностях изучаемых процессов (локальная обратимость, линейности в смысле Онсагера и т. д.). Благодаря этому развитие и использование принципов Онсагера и Пригожина для анализа прикладных задач столкнулись с целым рядом трудностей. Для того чтобы их проиллюстрировать, рассмотрим, следуя К. П. Гурову19, задачу о переносе тепла вдоль однородного стержня – классическую задачу, рассмотренную еще Фурье. В этом случае по теории Онсагера
и принцип минимума производства энтропии (2) дает нам
Откуда, интегрируя по частям, находим
И следовательно:
Но равенство (4) в общем случае не эквивалентно закону Фурье: