Jumalatega võidu. Tähelepanuväärne lugu riskist. Peter L. Bernstein
Читать онлайн книгу.
kõik, mis võimalik. Juhtivate Vahemere ääres elavate araabia matemaatikute käe all õppimiseks suundus ta reisile, mis viis ta Egiptusse, Süüriasse, Kreekasse, Sitsiiliasse ja Provence’i.
Selle tulemusel sündis igas mõttes erakordne raamat. „Liber Abaci“ tõi inimeste teadvusse täiesti uue maailma, kus numbritega sai asendada heebrea, kreeka ja rooma süsteeme, kus kasutati loendamiseks ja arvutamiseks tähti. Raamat saavutas matemaatikute seas kiiresti poolehoiu nii Itaalias kui ka kogu Euroopas.
„Liber Abaci“ on palju enamat kui aabits uute numbrite lugema ja kirjutama õppimiseks. Fibonacci alustab juhistega selle kohta, kuidas määrata numbrite arvu järgi kindlaks, kas number on ühe-, kümne-, saja- või mõnda muud järku. Edasised peatükid on keerukamad. Sealt leiame täisarvude ja murdarvudega arvutused, proportsioonide reeglid, ruutjuure ja kõrgemate juurte juurimistehted ning isegi lahendused lineaarsetele ja ruutvõrranditele.
Kuigi Fibonacci harjutused olid geniaalsed ja originaalsed, poleks see raamat ilmselt väljaspool matemaatikutest asjatundjate väikest kogukonda palju tähelepanu saanud, kui selles oleks käsitletud ainult teooriat. Kuid raamatule tekkis entusiastlik järgijaskond, sest Fibonacci täitis selle praktiliste rakendustega. Näiteks kirjeldas ja näitlikustas ta palju innovatiivseid võtteid, mida oli võimalik uute arvudega ettevõtete raamatupidamisele rakendada, nagu näiteks rentaabluse arvutamine, valuuta vahetamine, kaalu- ja mõõtühikute teisendamine. Ta oli lisanud raamatusse isegi intressimaksete arvutamise, kuigi liigkasuvõtmine oli endiselt paljudes kohtades keelatud.
„Liber Abaci“ pakkus täpselt sellist vaimuvirgutust, mida nautis kindlasti niivõrd tark ja loominguline inimene kui seda oli keiser Friedrich. Kuigi aastatel 1211–1250 valitsenud Friedrichit tunti julma ja maise võimu kinnismõttest vaevatud inimesena, huvitasid teadus, kaunid kunstid ja valitsemise filosoofia teda tõeliselt. Ta hävitas Sitsiilias kõik eraväeosad ja feodaalsed lossid, maksustas vaimulikkonna ja keelas neil ilmalike ametite pidamise. Samuti lõi ta asjatundliku bürokraatia, kaotas siseriiklikud tollimaksud, kõrvaldas kõik importi tõkestavad õigusaktid ja sulges riigimonopolid.
Friedrich ei talunud rivaale. Erinevalt oma vanaisast, Friedrich I Barbarossast, keda paavst 1176. aastal Legnano lahingus alandas, nautis see Friedrich oma lõputuid lahinguid paavstivõimuga. Ta pandi oma järeleandmatuse tõttu kirikuvande alla mitte ainult korra, vaid lausa kaks. Paavst Gregorius IX nõudis teisel korral Friedrichi ametist kõrvaldamist, iseloomustades teda ketseri, elupõletaja ja antikristusena. Friedrichi vastus oli jõhker rünnak kirikuriigi territooriumile. Samal ajal püüdis tema laevastik kinni suure prelaatide delegatsiooni, kes olid teel Rooma, et ühineda tema võimult eemaldamiseks kokku kutsutud kirikukoguga.
Friedrich ümbritses ennast oma ajastu juhtivate intellektuaalidega ning kutsus neist paljud enda juurde Palermosse. Ta ehitas mõned Sitsiilia kaunimatest lossidest ja asutas 1224. aastal avalike teenistujate koolitamiseks ülikooli, mis oli esimene kuningliku hartaga ülikool Euroopas.
„Liber Abaci“ paelus Friedrichit. Kui Friedrich 1220ndatel Pisat külastas, kutsus ta Fibonacci audientsile. Vestluse käigus lahendas Fibonacci algebraülesandeid ja kuupvõrrandeid, mille üks paljudest Friedrichi teenistuses töötavatest alalistest teadlastest talle esitas. Hiljem kirjutas Fibonacci kohtumisest inspireeritud raamatu „Liber Quadratorum“ ehk „Ruutude raamat“, mille ta keisrile pühendas.
Fibonaccit teatakse kõige paremini ühe lühikese „Liber Abacis“ ilmunud lõigu tõttu, mis viis täieliku matemaatilise imeni. Lõigus uuritakse, mitu jänest sünniks aasta jooksul ühest jänesepaarist, kui eeldada, et igal kuul sünnib igal paaril üks paar jänesepoegi ning et jänesed hakkavad sigima kahe kuu vanuselt. Fibonacci avastas, et algne jänesepaar oleks aasta jooksul sigitanud kokku 233 paari jäneseid.
Lisaks avastas ta veel midagi palju huvitavamat. Ta oli eeldanud, et algne paar ei hakka enne teist kuud järglasi andma ning et seejärel sigitavad nad igal kuul veel ühe paari. Neljandaks kuuks oleks nende kaks esimest järglaste paari sigimisvõimelised. Pärast protsessi algust oleks jänesepaaride koguarv iga kuu lõpus järgmine: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Iga järgmine number on kahe sellele eelnenud numbri summa. Kui jänesed jätkaks oma tegevust sada kuud, oleks paare kokku 354 224 848 179 261 915 075.
Fibonacci jada on palju enamat kui lihtsalt meelelahutus. Jagage mistahes Fibonacci arv temast järgmise arvuga. Pärast arvu 3 on vastus alati 0,625. Pärast arvu 89 on vastus alati 0,618 ning pärast kõrgemaid arve tekib komakohti juurde.29 Jagage mistahes arv sellele eelneva arvuga. Pärast arvu 2 on vastus alati 1,6. Pärast arvu 144 on vastus alati 1,618.
Kreeklastele oli selline proportsioon tuttav ja nad kutsusid seda kuldlõikeks. Kuldlõikega on määratud kindlaks Parthenoni proportsioonid, mängukaartide ja pangakaartide kuju ning New Yorgis asuva ÜRO Peaassamblee hoone proportsioonid. Enamiku kristlike ristide horisontaalne telg eraldab vertikaalset telge enam-vähem sama proportsiooniga: risttala kohal olev osa moodustab selle alla jäävast osast 61,8%. Kuldlõiget võib näha ka looduses – lillemustrites, artišoki lehtedes ja palmipuu leherootsudel. See on samuti inimkeha naba kohale jääva osa suhe nabast allapoole jäävasse osasse (st tavapäraste proportsioonidega inimestel). Sama suhtarvu järgivad ka meie sõrmeluud, kui vaadata neid sõrmetipust käelaba suunas.30
Üks Fibonacci jada romantilisemaid ilminguid määrab kindlaks ilusa spiraali proportsioonid ja kuju. Juuresolevad joonised näitavad, kuidas spiraal tekib ruutude jadast, mille järjestikused relatiivsed mõõtmed on määratud kindlaks Fibonacci jadaga. Protsess algab kahe väikese ühesuuruse ruuduga. Seejärel lisatakse nende kõrvale esimesest kahest ruudust kaks korda suurem ruut, siis esimesest kahest ruudust kolm korda suurem ruut, seejärel viis korda suurem ruut ja nii edasi. Pange tähele, et selline järgnevus tekitab kuldlõike proportsioonidega kolmnurgad. Seejärel ühendatakse ruutude vastasnurgad veerandringikujuliste kaartega, alustades väiksematest ruutudest ja liikudes järjekorras järgmiste suunas edasi.
Tuttava kujuga spiraali võib näha teatavate galaktikate kujus, jäära sarvedes, paljudes merekarpides ja ookeanilainete kaartes, millel surfarid sõidavad. Aina suuremaks muutudes struktuuri kuju ei muutu, seda olenemata algse ruudu suurusest, millega protsess käivitatakse: kuju ei sõltu kasvust. Ajakirjanik William Hoffer märkis, et „Suur kuldne spiraal tundub olevat looduse viis ilma kvaliteeti ohverdamata kvantiteeti üles ehitada.“31
Mõned inimesed arvavad, et Fibonacci arve saab kasutada paljude erinevate ennustuste tegemiseks, seda eriti aktsiaturgude kohta. Sellised ennustused toimivad piisavalt tihti, et entusiasm säiliks. Fibonacci jada on sedavõrd huvitav, et olemas on isegi Ameerika Fibonacci Ühing, mis asub Californias Santa Clara ülikooli juures ja mis on avaldanud sellel teemal alates 1962. aastast tuhandete lehekülgede jagu uurimusi.
Fibonacci „Liber Abaci“ oli muljetavaldav esimene samm, et mõõtmisest saaks riski taltsutamise võtmetegur. Kuid ühiskond ei olnud veel valmis riskile arve külge panema. Fibonacci ajastul arvas enamik inimesi endiselt, et risk tulenes looduse kapriissusest. Enne kui inimesed olid valmis riskitaltsutamise tehnikaid aktsepteerima, pidid nad õppima tundma ära inimtekkelisi riske ja omandama julguse saatusega lahingusse astumiseks. Selline äratundmine jäi veel vähemalt kahesaja aasta kaugusele tulevikku.
Fibonacci saavutuse täielikku mõju suudame hinnata ainult vaadates tagasi ajastusse, mis eelnes sellele, kui ta selgitas, kuidas eristada omavahel arve 10 ja 100. Kuid isegi sealt avastame me märkimisväärseid novaatoreid.
Primitiivsed inimesed, nagu näiteks neandertallased, oskasid arvet pidada, kuid neil oli vähe asju, mille üle seda teha. Nad märkisid mõnele kivile või palgile üles päevade möödumise ja jälgisid, mitu looma nad tapsid. Aega arvestas nende eest päike ja viis minutit või pool tundi siia-sinna ei omanud suurt tähtsust.
Esimene süstemaatiline katse mõõta ja loendada leidis aset umbes kümme tuhat aastat enne Kristuse sündi.32 Just siis asusid inimesed toidu kasvatamiseks alaliselt elama orgudesse,
Üks neid veidrusi, mida arvud tekitada võivad, näitab, et arvu 0,618 saab tuletada, kui võtta ruutjuur viiest, mis on 2,24, lahutada sellest 1 ja jagada tulemus 2-ga. See tulemus on Fibonacci arvjada algebraline tõestus.
Tehniliselt on Fibonacci jada valem järgmine: väiksem osa suhtub suuremasse nii nagu suurem kogu tervikusse.
Kaks stimuleerivat kommentaari Fibonacci arvude kohta on pärit järgmistest teostest: Garland (1987) ja William Hoffer, „A Magic Ratio Recurs Through Art and Nature“ (1975). Esitatud näited on pärit nendest kahest allikast.
Siinkohal esitatud taustainfo pärineb peamiselt Hobgben (1968), I peatükk.