Mathematik für Ingenieure II für Dummies. J. Michael Fried

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Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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rel="nofollow" href="#fb3_img_img_c60ca97c-b457-5e3b-a63c-7eee535b951c.png" alt="f left-parenthesis x right-parenthesis"/> suchen Sie dabei eine Funktion upper F left-parenthesis x right-parenthesis, eine sogenannte Stammfunktion, die als Ableitung die Funktion f besitzt. Diese Form der Integration wird auch unbestimmte Integration genannt.

Sind upper F colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R und f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R auf dem Intervall left-bracket a comma b right-bracket definierte Funktionen, so heißt upper F eine Stammfunktion zu f, wenn für alle x element-of left-bracket a comma b right-bracket

upper F prime left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x right-parenthesis

      gilt.

      Wahrscheinlich ist allerdings die andere Sichtweise der Integralrechnung die, die Sie zuerst kennengelernt haben: die Flächenberechnung unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion. Diese Sichtweise liegt der Integraldefinition als Grenzwert Riemannscher Summen zugrunde.

      

Eine Riemannsche Summe zu einer gegebenen Funktion f colon upper I right-arrow double-struck upper R auf dem Intervall upper I equals left-bracket a comma b right-bracket subset-of double-struck upper R und einer Unterteilung in Teilintervalle left-bracket x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-bracket für 1 less-than-or-equal-to i less-than-or-equal-to n durch gegebene Punkte

a equals x 0 less-than x 1 less-than midline-horizontal-ellipsis less-than x Subscript n Baseline equals b

      ist eine Summe

upper S Subscript upper Z Baseline equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts f left-parenthesis x overbar Subscript i Baseline right-parenthesis left-parenthesis x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 Baseline right-parenthesis

      mit Zwischenpunkten x overbar Subscript i Baseline element-of left-bracket x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-bracket. Eine solche Unterteilung des Intervalls upper I in lauter Teilintervalle left-bracket x Subscript i minus 1 Baseline comma x Subscript i Baseline right-bracket wird Zerlegung von upper I genannt. Die Feinheit einer Zerlegung ist die maximale Länge x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 eines Teilintervalls der Zerlegung.

durch Rechtecksflächen

      

Es sei f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R eine auf dem Intervall left-bracket a comma b right-bracket beschränkte Funktion mit StartAbsoluteValue f left-parenthesis x right-parenthesis EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to upper M für alle a less-than-or-equal-to x less-than-or-equal-to b.

      Konvergieren für alle Folgen von Zerlegungen left-parenthesis upper Z Subscript n Baseline right-parenthesis mit limit Underscript n right-arrow infinity Endscripts parallel-to upper Z Subscript n Baseline parallel-to equals 0 und eine beliebige Auswahl von Zwischenpunkten die Riemannschen Summen upper S Subscript upper Z Sub Subscript n gegen einen gemeinsamen Grenzwert upper S, dann heißt f integrierbar auf [a,b], und die Zahl upper S heißt bestimmtes Integral über f im Intervall [a,b]. In Formeln:

integral Subscript a Superscript b Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis normal d x colon equals upper S equals limit Underscript parallel-to upper Z parallel-to right-arrow 0 Endscripts sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts f left-parenthesis x overbar Subscript i Baseline right-parenthesis left-parenthesis x Subscript i Baseline minus x Subscript i minus 1 Baseline right-parenthesis period

      Überraschend ist der Zusammenhang zwischen der Differentialrechnung und der zunächst rein geometrisch definierten Integralrechnung. Sie erhalten mit der Flächenberechnung gleichzeitig eine Umkehrung der Differentiation.

      Diese Tatsache heißt in der reellen Analysis der Hauptsatz

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