Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf
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Planificar sus finanzas personales y su jubilación. Todos debemos tomar conciencia sobre la importancia de planificar nuestras metas y necesidades futuras; en este sentido, las matemáticas financieras resultan de imprescindible ayuda para establecer un buen emparejamiento entre nuestros recursos y necesidades.
1.2 Revisión de álgebra
Esta sección constituye un repaso de las funciones que aprendió en un curso de análisis matemático y tienen por objeto prepararlo para tratar con ductilidad las situaciones que se le presentarán en capítulos posteriores. Puede saltar la lectura de este capítulo si considera que no precisa este repaso o, alternativamente, consultarlo cuando necesite refrescar algún conocimiento.
Factor común
Un polinomio que tiene un factor o varios factores comunes en todos sus términos se puede escribir como el producto del o los factores comunes por un paréntesis, dentro del cual figura el polinomio formado por los cocientes entre cada uno de los términos del polinomio original y el factor o los factores comunes detectados. Dada la siguiente expresión: 16a4b2 + 8a2b.
Los factores comunes son 2, a y b, entonces:
2ab (8b4 + 4a)
Note que en el paréntesis se escribe el polinomio de manera que multiplicado por el factor común nos vuelve a dar el polinomio original. En matemáticas financieras para una expresión del tipo:
(1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3
Podemos sacar como factor común (1 + i) y quedaría (1 + i) [1 + (1 + i) + (1 + i)2]
Transposición de términos
Si un número está sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando y viceversa. Si un número está en un miembro multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. Podemos demostrar estas relaciones despejando la x de la siguiente expresión:
En matemáticas financieras, despejando términos podemos derivar fórmulas a partir de otras.
Común denominador
En las fracciones en que el denominador es el mismo, podemos expresarlo como común denominador:
De la misma manera, pueden separarse los dos términos del numerador en dos fracciones, respetando el denominador:
En matemáticas financieras, a menudo deberemos sacar el común denominador de expresiones tales como:
También puede ser útil separar los términos del numerador para poder obtener una sola n en la expresión:
Recordad, también, que en matemáticas:
Por ejemplo,
Este tipo de operación es común en los despejes que se realizan en las fórmulas que involucran pagos constantes, como las denominadas rentas o anualidades.
Propiedad distributiva de la multiplicación
El producto de una suma indicada de números enteros por otro número entero es igual a la suma de los productos de cada sumando por dicho número,
a (c + d) = ac + ad
y con respecto a la resta de números enteros,
a (c − d) = ac − ad
Potencias
Cuando (a·a·a·a·a) se abrevia como a5, se dice que a es una base y que 5 es un exponente. Las leyes matemáticas de los exponentes son:
a. Suma de exponentes:
La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base:
b2b3 = b2+3 = b5
Por ejemplo, será común utilizar expresiones tales como (1+i)2 × (1+i)3 = (1+i)5
b−8b6 = b−8+6 = b−2
Los factores con exponentes negativos aparecen cuando queremos expresar un factor de descuento. Por ejemplo, si queremos expresar el valor presente de un euro con una tasa de interés del 10 %:
b. Resta de exponentes:
La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base, al igual que en la suma de exponentes:
c6 : c4 = c6−4 = c2;– c5 : c9 = c5−9 = c−4
Por ejemplo,
c. Multiplicación de exponentes:
(a4) = a4×3 = a12
(a−2)−5 = a(−2)x(−5) = a10
d. Exponente cero: el resultado es siempre 1 (uno).
a0 = 1
e. Exponente negativo: significa invertir la base.
f. Transposición de exponentes al otro miembro:
Cuando los exponentes pasan al otro miembro mantienen el signo, pero se invierten. Por ejemplo, el exponente −2 de la primera expresión pasa al otro miembro como −1/2.
g. Exponente fraccionario: implica escribir la base como una operación de radicación en la cual el índice es el denominador del exponente.
Por ejemplo, un factor con una tasa de interés del tipo (1+i)1/3 también puede exponerse como
h. Radicación:
Progresiones aritméticas
Una sucesión numérica forma una progresión aritmética cuando sus términos se van obteniendo al