Manual de matemáticas financieras. Guillermo L. Dumrauf
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produce el siguiente cambio: si el vencimiento del documento con mayor valor es el más lejano, el vencimiento medio se reduce; si por el contrario, el vencimiento es anterior al del documento con menor valor, el aumento de la tasa lo acerca a su fecha de vencimiento. Lo contrario se cumple para reducciones en la tasa de interés. Estos efectos son todavía más importantes en el régimen compuesto, y conocer esta relación tiene particular importancia en situaciones de la vida real, por ejemplo, en el diseño de carteras «inmunizadas» de títulos de renta fija.
b. En el descuento comercial
El caso del vencimiento medio en el descuento comercial plantea un caso interesante, ya que puede calcularse independientemente de la tasa de contrato de la operación. El principio de equivalencia nos dice que el valor presente del nuevo documento es igual a la suma de los valores presentes de los documentos que reemplaza:
C (1 − dt) = C1 (1 − dt1) + C2 (1 − dt2)
Distribuyendo y luego sacando el factor común queda:
C − Cdt = C1 − C1dt1 + C2 − C2dt2
Como en el vencimiento medio, en el nuevo documento C = C1 + C2 podemos simplificar la ecuación y queda:
Cdt = d (C1t1 + C2t2)
Finalmente, podemos despejar t:
Para el ejemplo anterior, resulta:
Y si se invirtieran los vencimientos, como fue mencionado anteriormente, el período t hubiera sido de nuevo 6,17:
En el caso particular de que C1 = C2 la fórmula quedaría:
Donde N representa el número de documentos. Observe que en estas expresiones no aparece la tasa de descuento de la operación. El resultado hubiera sido el mismo aunque la tasa de descuento hubiera sido del 2 % o del 200 %. Sin embargo, vimos que cuando aplicábamos el descuento racional, un cambio en la tasa de interés vencida tenía influencia, aunque muy poca, en el vencimiento medio de la operación. ¿Por qué en el descuento comercial el cambio en la tasa de descuento no influye sobre el resultado? Ya vimos que para que el descuento comercial y el racional arrojen exactamente el mismo resultado, tendríamos que utilizar para cada documento la tasa equivalente para cada período, según el vencimiento de cada documento. Así, tendríamos que calcular la d equivalente a la i en cada período, ya que la relación se ve alterada por el número de períodos, como fue demostrado anteriormente. En cambio, si utilizamos el descuento comercial y se predefine una tasa de contrato d, si bien es cierto que, cuanto mayor sea esta, menor será el valor presente de los documentos, inmediatamente aparece implícita una tasa vencida de arbitraje que iguala el valor presente con la suma de los documentos (11.000) siempre en idéntico plazo. Por ejemplo, si hacemos el cálculo con tasas de descuento de d = 2 % y d = 10 % mensual, el valor presente de los documentos en cada caso sería:
V(d=2%) = 1.000 (1 – 0,02 × 6) + 10.000 (1 – 0,02 × 8) = 9.280
V(d=10%) = 1.000 (1 – 0,10 × 6) + 10.000 (1 – 0,10 × 8) = 2.400
Luego el vencimiento medio en ambos casos sería:
Siempre hay implícita una tasa de interés vencida que hace que la colocación de 9.280 o de 2.400 (2,37 % mensual y 45,83 % mensual) alcance en 7,8181 períodos el monto de 11.000 €:
9.280 (1 + 0,0237 × 7,8181) = 11.000
2.400 (1 + 0,4583 × 7,8181) = 11.000
Por lo tanto, la tasa de descuento no influye en el vencimiento medio, ya que si esta aumenta, y con ello disminuye el valor presente de los documentos, luego surge una tasa de interés vencida mayor que vuelve a igualar el valor presente con la suma de los documentos siempre en el mismo plazo.7
Preguntas de autoevaluación
1. ¿Por qué en el cálculo del vencimiento común o el vencimiento medio debemos siempre calcular primero el valor presente?
2. ¿Por qué la tasa no influye en el vencimiento medio en el descuento comercial?
2.5 Resumen
Entendemos por régimen de interés simple aquel donde los intereses se calculan sobre el capital inicial. En la vida real, tenemos ejemplos de cálculo de los intereses bajo el régimen simple como los depósitos a plazo fijo, los intereses de la caja de ahorros en el interior del período de capitalización, los ajustes de deudas impositivas, indemnizaciones y otros.
En las operaciones de descuento, este se practica siempre sobre el valor nominal del documento, dando lugar a la conocida tasa «adelantada», «anticipada» o de descuento comercial, que involucra una tasa de interés vencida «implícita». Esta última es la que debe considerarse a la hora de establecer el verdadero coste financiero de una operación de descuento.
Por último, el principio de equivalencia de capitales nos dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor presente. Esto es relevante en el caso de reemplazo de pagos para el vencimiento común y el vencimiento medio.
2.6 Preguntas
1. Marque la respuesta correcta en la siguiente afirmación: «En el régimen simple, si las tasas de interés cambian período a período, para calcular el monto dentro de n períodos, estas deben»:
a. Sumarse en la expresión (1 + i1 + i2 + … in)
b. Multiplicarse en los siguientes factores (1 + i1) (1 + i2) … (1 + in)
2. Marque cuáles de los siguientes atributos tiene una tasa nominal:
a. Representa la tasa contractual de la operación.
b. Es una tasa vencida, a interés simple.
c. Si contratamos un plazo fijo al 6 % anual por 30 días, y lo renovamos cada 30 días, el rendimiento efectivo anual siempre será igual a la tasa nominal anual del 6 %.
d. Es un coeficiente de comparación, sirve para comparar entre tasas nominales.
e. Si el período de capitalización es igual a 1 (uno), coincide con la tasa efectiva de la operación.
6. Marque la respuesta correspondiente en las siguientes expresiones:
a. En el régimen simple de intereses, el interés periódico es: (constante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas son (constantes / crecientes / decrecientes).
b. En el descuento comercial, el descuento periódico es: (constante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas de descuento son (constantes / crecientes / decrecientes).
c. El valor (máximo / mínimo) que puede tomar la tasa utilizada en una operación realizada por el descuento comercial en un régimen simple (varia proporcionalmente con la tasa de interés utilizada en la operación / depende del valor que adquiere el importe por descontar / es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación).
4. Para poder utilizar la fórmula del monto a