Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни. Маркус дю Сотой
Читать онлайн книгу.
следующее число
Суть поиска паттернов идеально выражают задачи, которые вам, вероятно, приходилось решать в школе: вам дают последовательность чисел и просят определить следующее число в этой последовательности. Я очень любил такие задачи, которые наш учитель выписывал мелом на доске. Чем больше времени уходило у меня на поиски паттерна, тем более ценным казался найденный в конце концов шорткат. Этот урок я усвоил довольно рано. Обнаружение самых лучших шорткатов часто занимает много времени. Оно требует усилий. Но стоит найти такой шорткат, и он становится частью вашего инструментария познания мира и вы можете использовать его снова и снова.
Вот несколько заданий, которые помогут активировать ваши нейроны, занимающиеся поиском шорткатов, основанных на паттернах. Каким будет следующее число в этой последовательности?
1, 3, 6, 10, 15, 21 …
Не слишком сложная задача. Вы, вероятно, заметили, что на каждом шаге всего лишь прибавляется следующее по порядку число. Следующее число равно 21 + 7, то есть 28. Эти числа называются треугольными, потому что они соответствуют количеству камешков, которые нужны для построения треугольника: на каждом шаге к треугольнику добавляется еще один ряд камешков. Но существует ли шорткат, позволяющий найти сотое число, не перебирая все предыдущие 99? Собственно говоря, это именно та задача, которую пришлось решить Гауссу, когда учитель задал ему сложить все числа от 1 до 100. Гаусс нашел хитроумный шорткат и вычислил ответ, складывая числа попарно. В более общем случае, если вам нужно найти n-е треугольное число, прием Гаусса выражается следующей формулой:
1/2 × n × (n + 1).
Эти треугольные числа продолжали интересовать Гаусса с тех самых пор, как он впервые познакомился с ними на уроке герра Бюттнера. Более того, одна из записей в его математическом дневнике от 10 июля 1796 года состоит из греческого восклицания «Эврика!», за которым следует формула:
num = Δ + Δ + Δ.
Гаусс открыл следующий весьма замечательный факт: любое число может быть записано в виде суммы не более трех треугольных чисел. Например, 1796 = 10 + 561 + 1225. Наблюдения такого рода могут порождать очень полезные шорткаты: вместо того чтобы доказывать, что некоторое утверждение справедливо для всех чисел, может быть достаточно доказать его для треугольных чисел, а затем использовать открытое Гауссом правило, что любое число есть сумма трех треугольных чисел.
Вот еще одна задача. Назовите следующее число в последовательности:
1, 2, 4, 8, 16 …
Тоже ничего сложного. Следующее число – 32. На каждом шаге члены этой последовательности удваиваются. Эта зависимость, которую называют экспоненциальным ростом, управляет ростом многих величин; поэтому важно понимать, как работают такого рода паттерны. К примеру, поначалу последовательность выглядит вполне невинно. Именно так, видимо, считал индийский царь, согласившийся заплатить создателю шахмат ту цену, которую тот просил за свою игру.