Искусство мыслить правильно. Александр Архипович Ивин
Читать онлайн книгу.
и корректного оперирования неточными понятиями.
Более наглядно трудности этого рода демонстрируются классическими парадоксами «лысый» и «куча», сформулированными Евбулидом. Еще в IV веке до н. э. этот древний грек доказывал, что лысых людей не существует. О самом Евбулиде, о его жизни и внешности не дошло никаких сведений. Неизвестно, в частности, был он сам лысым или нет.
Доказательство Евбулида, изложенное в несколько осовремененной версии, звучит так.
Допустим, что мы собрали людей с разной степенью облысения и строим их в ряд. Первым в этом ряду поставим человека с самой буйной шевелюрой, какая вообще возможна. У второго пусть будет только на один волос меньше, чем у первого, у третьего – на волос меньше, чем у второго, и т. д. Последним в ряду будет совершенно лысый человек. На голове у человека сто с чем-то тысяч волос, так что в этом ряду окажется сто с чем-то тысяч человек.
Будем рассуждать, начиная с первого, стоящего в ряду. Он, без сомнения, не лысый. Взяв произвольную пару в этом ряду, найдем, что если первый из них не лысый, то и непосредственно следующий за ним также не является лысым, поскольку у этого следующего всего на один волос меньше. Следовательно, каждый человек из данного ряда не является лысым. Подчеркнем – каждый, включая как первого, так и последнего.
Доказано это, как будто строго, а именно методом математической индукции.
Но ведь последний в ряду – совершенно лысый человек! Однако лысый, так сказать, только фактически: мы видим, что у него на голове нет волос, и именно поэтому мы и поставили его в конце ряда. Но, рассуждая, мы приходим к заключению, что он не является лысым. Мы оказываемся таким образом перед дилеммой: нам остается либо верить своим глазам и не верить своему уму, либо наоборот.
Интересно, что используя прием Евбулида, можно доказать и прямо противоположное утверждение, что «волосатых» людей нет и все являются лысыми.
Для этого достаточно начать с другого конца образованного нами ряда людей. Первым человеком будет в этом случае совершенно лысый. У каждого следующего в ряду будет всего на один волос больше, чем у предыдущего. Так что если предыдущий – лысый, то и следующий за ним также лысый. Значит, каждый человек является лысым, включая, естественно, и последних в ряду, у которых на головах буйные шевелюры.
Здесь уже не просто рассогласование чувств и разума, а прямое противоречие в самом разуме. Удалось доказать с равной силой как то, что ни одного лысого нет, так и то, что все являются совершенно лысыми. И оба доказательства были проведены с помощью метода математической индукции, в безупречность которой мы верим со школьных лет и которая лежит в основании такой строгой и точной науки, как математика.
Парадокс «куча» строго аналогичен парадоксу «лысый». Одно зерно (один камень и т. п.) не образует кучи. Если n зерен не образуют кучи, то и n+1 зерно не образуют кучи. Следовательно, никакое число зерен не может образовать кучи.
Продолжая тему возраста, начатую предыдущими примерами («молодой человек», «человек среднего возраста»), можно