---

Скачать книгу

---

целями конкретной задачи. Если надо найти некоторое множество точек на плоскости, то универсальным множеством будет множество всех точек плоскости. Универсальное множество обычно обозначается символом U.

      Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым или несуществующим множеством и обозначается Ø.

      Для любого элемента x можно сказать, что пустое множество обладает свойством x ∉ Ø. Пустое множество может возникнуть при задании множества U и некоторого свойства A – такого, что в U нет ни одного элемента со свойством A, например множество М = {x: x – натуральное число, для которого ex < 2x} не имеет ни одного элемента, т. е. является пустым. Имеется только одно пустое множество, и если М и S пустые множества, то М = S, поскольку они состоят из одних и тех же элементов, а именно из никаких элементов.

      1.3. Подмножества

      Выбирая из множества М какие-либо элементы, можно получить новое множество S, которое будет частью множества М или, как еще говорят, подмножеством множества М. Иначе говоря, множество М является подмножеством множества М, если каждый элемент S является также и элементом М. Это отношение записывается так:

      S ⊆ M или M ⊇ S,

      что иногда читают, как Sсодержится в М или МсодержитS.

      Обычно принято считать, что часть «меньше» целого, однако в теории множеств это не так, поскольку каждое множество является подмножеством самого себя, т. е. M ⊆ M. Это свойство называют рефлексивностью.

      Пример 1.2

      (а) Рассмотрим множества:

      Х = {1, 2, 3, 4, 7, 8}, Y = {2, 3, 8, 9}, Z = {2, 8}.

      Здесь Z ⊆ X и Z ⊆ Y, но Y не является подмножеством Х, поскольку имеет элемент 9, которого нет в множестве Х. Кроме того, поскольку эти множества определяют одну и ту же задачу, то все они должны принадлежать к универсальному множеству U и это множество U должно содержать по крайней мере следующие элементы {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}.

      (в) Пусть N, Z, Q, R – множества, о которых упоминалось выше. Тогда

      N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.

      (с) Каждое множество Х является подмножеством универсального множества U, поэтому по определению все элементы Х принадлежат U. Пустое множество Ø также является подмножеством Х.

      (d) Если каждый элемент А принадлежит множеству В, а каждый элемент В принадлежит множеству С, тогда каждый элемент А принадлежит С, т. е. если A ⊆ B и B ⊆ C, тогда A ⊆ C.

      (e) Если A ⊆ B и B ⊆ A, тогда А и В имеют те же самые элементы и А = В. Обратно, если А = В, тогда A ⊆ B и B ⊆ A, так как каждое множество является подмножеством самого себя.

      Формально последние три примера можно записать следующим образом:

      1) для любого множества А всегда Ø ⊆ A ⊆ U;

      2) для любого множества А выполняется A ⊆ A;

      3) если A ⊆ B и B ⊆ C, тогда A ⊆ C;

      4) A = B, только если A ⊆ B и B ⊆ A.

      Если A ⊆ B и A = B, то A называют несобственным подмножествомB. Когда A ⊆ B и A≠B, т. е. в B содержится по крайней мере один элемент, которого нет в A, то A называют собственным

---

Скачать книгу