Характер физических законов. Ричард Филлипс Фейнман
Читать онлайн книгу.
связать одно утверждение с другим. Например, я могу сказать, что сила направлена к Солнцу. Но я могу сказать и по-другому (как в прошлой лекции): планета движется так, что если провести от Солнца к планете линию, затем другую линию, отделенную от первой определенным периодом, например тремя неделями, то площадь, которую опишет планета за эти три недели, равна площади, которую она опишет за следующие три недели, и за следующие три недели, и так далее по всей орбите. Я могу объяснить оба эти утверждения подробнее, но не могу объяснить, почему они означают одно и то же. Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых можно объяснить очень подробно, на самом деле тесно связаны. Однако если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому.
Как ни удивительно, но я могу доказать, что если силы направлены к Солнцу, то в равные промежутки времени описываются равные площади. Я попытаюсь доказать, что эти два закона эквивалентны, и тогда вам станут ясными не только формулировки этих двух утверждений. Вы убедитесь, что эти два закона связаны, что путем размышления можно перейти от одного к другому и что математика – это организованные рассуждения. Тогда вы оцените красоту взаимоотношений между этими двумя законами. Итак, докажем, что если сила направлена к Солнцу, то за равное время описываются равные площади.
Рассмотрим Солнце и планету (рис. 13) и вообразим себе, что в определенный момент времени планета находится в положении 1. Она движется так, что через секунду, скажем, очутится в положении 2. Если бы Солнце не действовало на планету, то, согласно галилееву принципу инерции, планета продолжала бы двигаться по прямой. Тогда по истечении такого же промежутка времени, следующей секунды, двигаясь по прямой линии и пройдя такое же расстояние, планета очутилась бы в положении 3. Сначала мы докажем, что в равные промежутки времени описываются равные площади, если силы нет. Напомню, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высота – это расстояние по вертикали от вершины до основания треугольника. Если треугольник тупоугольный (рис. 14), то высота – AD, а основание – ВС. Теперь сравним площади, которые описывались бы при движении планеты, если бы Солнце на нее не действовало (рис. 13).
Вы помните, что два расстояния 1–2 и 2–3 равны. Вопрос в том, равны ли две площади. Рассмотрим треугольник, образованный Солнцем (S) и двумя точками 1 и 2. Какова его площадь? Она равна основанию 1–2, умноженному на половину перпендикуляра, опущенного на основание из точки S. Теперь – другой треугольник, образованный точками 2, 3 и S. Его площадь равна основанию 2–3, умноженному на половину перпендикуляра, опущенного из точки S. У этих двух треугольников одна и та же высота и, как я уже сказал, равные основания. Поэтому они имеют одинаковую площадь. Пока все идет прекрасно. Если бы со стороны Солнца не действовало