Matemáticas y Física & Química. Equipo Parramón Paidotribo
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la variable x, obtendremos una tabla de valores. Para dibujar la gráfica, bastará con llevar los pares (0, 0); (1, 2); (2, 4), etc., a los ejes de coordenadas y unir los puntos obtenidos. La gráfica de una función de este tipo es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. De ahí el nombre de función lineal.
PENDIENTE DE UNA RECTA
En la tabla de valores vemos que cada vez que la x aumenta una unidad la y aumenta dos. Entonces decimos que la pendiente de la recta es dos. La pendiente coincide con el coeficiente de la x, es decir, con el número que va delante de la x en la fórmula de la función y = 2x. Cuanto mayor es dicho número, mayor es la inclinación de la recta.
¿Qué sentido tendría vender –5 kilogramos? Ninguno. En este caso no podemos dar a la x valores negativos. El conjunto de valores que podemos dar a la variable independiente se llama dominio de la función. En este ejemplo, está formado por el cero y los números reales positivos, conjunto que se suele escribir R+.
Es muy importante descubrir la fórmula matemática de una función, ya que así podemos sustituir cualquier valor de la variable independiente. Si se ha realizado, p. ej., una venta de dos kilogramos y cuarto, haríamos y = 2· 2,25 = 4,50. El punto correspondiente al par (2,25; 4,50) también estaría situado sobre la recta.
Como ni la x ni la y pueden ser negativas, la gráfica se reduce al primer cuadrante.
¿Podría cobrar el vendedor –20 euros por una venta de judías verdes? No. El conjunto de valores que se obtienen en la variable dependiente se llama recorrido de la función. En este caso coincide también con R+.
LA FUNCIÓN AFÍN
Aunque en la mayoría de los países la temperatura se mide en grados centígrados, en algunos se mide en grados Fahrenheit. La fórmula que permite expresar en grados Fahrenheit una determinada cantidad de grados centígrados es: y = 1,8x + 32.
Una función de este tipo se llama función afín. Si damos valores a la variable x, construimos la tabla correspondiente y dibujamos la gráfica, veremos que la recta obtenida corta al eje vertical en el valor 32. Dicho valor se llama ordenada en el origen y coincide con el término independiente de la fórmula de la función, es decir, el término que no lleva x.
La función lineal es un caso particular de la función afín, que se produce cuando la ordenada en el origen vale cero. Por ejemplo: y = 2x + 0 = 2x.
En las zonas desérticas, la temperatura diurna puede alcanzar los 50 grados centígrados. Esta temperatura equivale a y = 1,8 · 50 + 32 = 122 grados Fahrenheit.
En algunas zonas de montaña se alcanzan con frecuencia temperaturas inferiores a –4 grados Fahrenheit.
Para convertir esta cantidad en grados centígrados, haríamos lo siguiente: –4 = 1,8x + 32, de donde: –4 –32 = 1,8x y finalmente:
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Santiago quiere comprar una parcela cuadrada para construir una casa. Según la normativa municipal, no se puede edificar a menos de diez metros de las lindes este y oeste, que dan a dos calles, ni a menos de cinco metros de las lindes norte y sur, que limitan con las parcelas vecinas.
Para expresar la superficie del rectángulo construible, y, en función de la longitud del lado de la parcela, x, hay que tener en cuenta que el área de un rectángulo se calcula multiplicando sus dos lados diferentes: y = (x – 20)(x – 10). Multiplicando, obtenemos: y = x2 – 10x – 20x + 200, es decir: y = x2 – 30x + 200.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se llama función de segundo grado o función cuadrática a una función del tipo y = Ax2 + Bx + C, donde A es un número real distinto de cero. En nuestro caso tenemos A = 1, B = –30, C = 200.
Para obtener la gráfica de la función, construimos una tabla de valores y unimos los puntos correspondientes. Vemos que se trata de una parábola. El valor mínimo de la y es –25 y se obtiene cuando x vale 15. Se dice que el punto (15, –25) es el vértice de la parábola.
El terreno que quiere comprar Santiago.
Matemáticamente hablando, el dominio de la función y = x2 – 30x + 200 se extiende a todos los números reales, pero su recorrido se reduce a los números superiores o iguales a –25. Ahora bien, cuando aplicamos esta función al caso concreto de la parcela, el dominio se reduce a los valores superiores a 20, puesto que si el lado de la parcela fuera menor que 20, al restarle 20 metros, resultaría que el lado del rectángulo construible sería negativo, lo cual no tiene sentido.
La abscisa del vértice de una parábola se puede calcular con la expresión:
Los puntos de corte de la gráfica de la función y = Ax2 + Bx + C con el eje horizontal son aquellos cuya ordenada es cero. Resulta entonces una ecuación de segundo grado: 0 = Ax2 + Bx + C, que puede tener dos soluciones, una o ninguna, según sea el discriminante.
discriminante negativo
discriminante cero
discriminante positivo
El vértice de la parábola es: