10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

      Последовательность {а_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что для любого n a_n ≤ M (a_n ≥ m). Число М (m) называется верхней (нижней) границей последовательности {a_n}.

      Последовательность {а_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

      Теорема. Последовательность {а_n} ограничена тогда и только тогда, когда существует число r > 0 такое, что |a_n| < r для всех n.

      Теорема. Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

      Теорема. Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

      Последовательность {а_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного ε существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < ε.

      Последовательность {а_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного Р существует такой номер N, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |a_n| < Р.

      Предел бесконечно большой последовательности при n > ∞ равен ∞.

      Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

      Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Для того чтобы последовательность {а_n} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {b_n} b_n = 1 / а_n была бесконечно малой.

      Теорема. Если {а_n} – бесконечно большая последовательность, а {b_n} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

      Свойства бесконечно малых последовательностей:

      1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю:

      2) стационарная последовательность с, с, …, с, … является бесконечно малой тогда, когда с = 0;

      3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;

      4) пусть {b_n} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливо а_n ≤ b_n, тогда последовательность {а_n} тоже является бесконечно малой;

      5) бесконечно малая последовательность ограниченна;

      6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

      7) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, {b_n} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

      8) пусть {а_n} – бесконечно малая последовательность, а с – любое действительное число, тогда последовательность {са_n} тоже