100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1. Ирина Краева
Читать онлайн книгу.
даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?
18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?
19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?
20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?
Сравнение чисел
Сравните предложенные числа
21. (10000N + (N – 1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N) 2.
Например, 20232022 ∙ 20232024 и 202320232.
22. N N +1 и (N +1) N.
Например, 20232024 и 20242023.
23. N N и (N +1) N – 1.
Например, 20232023 и 20242022.
24. N N и (N – 1) N +1.
Например, 20232023 и 20222024.
25. ((N – 1) N – 1 + N N) и ((N – 1) N + N N – 1).
Например, (20222022 +20232023) и (20222023 +20232022).
26. (N N +1 + (N +1) N) и (N N + (N +1) N +1).
Например, (20232024 +20242023) и (20232023 +20242024).
27. ((N – 1) N – 1 × N N) и ((N – 1) N × N N – 1).
Например, (20222022 ∙ 20232023) и (20222023 ∙ 20232022).
28. (N!) 2 и (N 2)!. Например, (2023!) 2 и (20232)!.
29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).
Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).
30. logN – 1N 2 и logN +1 (N 2 – 1).
Например, log 202220232 и log2024 (20232 – 1).
Уравнения
31—42. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N – 1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.
Например,
31) 2023x2 – 2022x – 1 = 0;
32) 2023x2 +2022x – 1 = 0;
33) 2023x2 + x – 2022 = 0;
34) 2023x2 – x – 2022 = 0;
35) 2022x2 – 2023x +1 = 0;
36) 2022x2 +2023x +1 = 0;
37) 2022x2 + x – 2023 = 0;
38) 2022x2 – x – 2023 = 0;
39) x2 – 2023x +2022 = 0;
40) x2 +2023x +2022 = 0;
41) x2 – 2022x – 2023 = 0;
42) x2 +2022x – 2023 = 0.
Решите уравнения
43. (x + N – 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 2.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 2.
44. (x + N – 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 3.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 3.
45. (x + N – 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 4.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 4.
46.