Родился 3 (16) января 1909 года в селе Вахромеево (ныне Икрянинского района) Астраханской области. Русский. С 14-и лет ходил кочегаром на судах Волго-Каспийского пароходства. В 1931 году окончил Бакинский морской техникум. Ходил штурманом, помощником капитана.

      В Военно-Морском Флоте с 1931 года. В 1932 году окончил курсы командиров запаса Учебного отряда Морских Сил Чёрного Моря. В 1933 году— Специальные Курсы Командного Состава. В 1936 году— отдел подготовки кадров командного состава Учебного Отряда Подводного Плавания имени С. М. Кирова в Ленинграде. Член ВКП(б)/КПСС с 1938 года.

      Служил на Тихоокеанском флоте: с декабря 1933 года по апрель 1935 года— командир штурманского сектора подводной лодки Щ-108, с апреля до конца 1935 года— штурман 2-го дивизиона подводных лодок 2-й морской бригады, с марта 1936 года по август 1937 года – помощник командира подводной лодки Л-11, с августа 1937 года по июль 1938 года – командир подводной лодки М-6, затем до декабря 1939 года – командир подводной лодки Щ-116.

      С декабря 1939 года проходил службу на Черноморском флоте, и до февраля 1940 года находился в распоряжении Военного Совета флота. С февраля по июнь 1940 года исполнял должность командира. В июне 1940 года назначен командиром подводной лодки С-33. Участник обороны города Севастополя и освобождения Крыма.

      В 1941 – 1944 годах совершил 18 Боевых походов на коммуникации противника, а в мае – июне 1942 года Б.А.Алексеев в качестве обеспечивающего командира на подводной лодке С-31 совершил два похода в Севастополь, доставив в осажденный город боеприпасы и продовольствие, эвакуировав оттуда раненых и больных. С апреля по июнь 1943 года – командир по оперативной части Бригады подводных лодок без сдачи дел командира подводной лодки С-33.

      20 апреля 1943 года подводной лодкой С-33 под командованием Б.А.Алексеева был потоплен румынский транспорт «Sychava». 22 сентября и 27 декабря 1943 года С-33 потопила торпедами два транспорта противника водоизмещением 6000 тонн и 4000 тонн.

      12 мая 1944 года к юго-западу от мыса Сарыч Б.А.Алексеев обнаружил вражескую быстроходную десантную баржу, находившуюся без хода, осмотрел её и потопил артиллерийским огнём, предварительно сняв с неё кормовой флаг Kriegsmarine.

      Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками капитану 2-го ранга Алексееву Борису Андреевичу присвоено звание Героя

      Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда». Подводная лодка С-33 стала Гвардейской.

      С