А1c ∩ А2c и из этого следует, что А1c является подмножеством А1c ∩ А2c, т. е. А1c ⊆ А1c ∩ А2c, но поскольку А1c ⊆ А2c по определению, то тогда А1c ⊆ А2c.

      Пусть теперь

      А2c = А2c ∩ U = А2c ∩ (А1c∪ А) =

      Выполнив преобразования, как и в первом случае, получим

      = А1c ∩ А2c, т. е. А2c ⊆ А1c, но из этого следует, что

      А1c = А2c = АС.

      Итак, мы предположили, что существует два дополнения, а затем показали, что они совпадают, и это доказывает единственность дополнения множества А.

      1.19. Известно, что для чисел операция равенства является транзитивной, т. е. если a = b и b = c, то из этого следует, что a = c. Свойство транзитивности во многих случаях оказывается очень полезным. Например, если необходимо знать, равны ли все три числа a, b и c, то достаточно проверить равенство только двух любых пар, допустим a = b и b = c, третье равенство a = c можно не проверять – оно будет выполнено в силу транзитивности. Однако если рассматривать операцию ≠, то транзитивность не выполняется. Например, a = 2, b = 3, c = 2 и тогда a ≠ b, b ≠ c, но a = c. Для множеств также операция включения множеств А ⊆ В транзитивна, но операция ⊄ не является транзитивной. Доказать, что если А ⊄ В и В ⊄ С, то из этого не следует А ⊄ С.

      Для доказательства достаточно рассмотреть следующий случай. Пусть А и В непустые непересекающиеся множества, и пусть А = С. Тогда А ⊄ В и В ⊄ С, но А ⊆ С.

      1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:

      если A ∪ B = B ∪ C, то А = В.

      Если С непустое множество, С = А и множество В = Ø, тогда А ∪ Ø = Ø ∪ С и А ≠ В.

      1.21. Пусть А, В и С непустые попарно