Элементы. Сен Гук Ким
Читать онлайн книгу.
разбиение поверхностей концентрических кубов. Плотно прилегающими одинаковыми кубами произвольных объёмов заполняется всё трехмерное пространство без промежутков между кубами.
7. Распределение натуральных чисел по разбиениям поверхностей концентрических кубов
Возьмём любую точку пространства. С этой точки сформируем некоторую поверхность куба ребром L с площадью S:
S = 6L2 (27)
Перепишем (27) в тождественной форме:
S = 2(3 L2), (28)
утверждающей о том, что поверхность куба состоит из двух равных поверхностей полукубов, разделённых квадратом на полурёбрах произвольных четырёх замкнутых квадратных «стенок». Зафиксируем факт существования эталонной или стандартной поверхности полукуба с ребром Lst нормировкой её на единицу:
3 Lst2 = 1 (29)
Размерность 1 может быть произвольной, пусть, будет фемтометр (фм) – 10-15 м.
На самом деле размерность не важна, и может быть относительной, т. е. «безразмерной».
Тогда
Lst = 1/√3 (30)
Это некоторый стандартный куб с единицей измерения рёбер Lst.
Возьмём любую точку пространства и от этой точки сформируем ряд концентрически вложенных кубов (кубическую «матрёшку»). Первый куб сформируем стороной в произведение 0 × √2 на Lst
L1 = (0 × √2) Lst = (0 × √2) Lst = 0 × 1/√3 (31)
Второй куб, концентрически окаймляющий первый куб (31), сформируем стороной в произведение 1 × √2 на Lst:
L2 = (1 × √2) Lst = √2 Lst = √2/√3 (32)
Третий куб, концентрически окаймляющий второй куб (32), сформируем стороной в произведение 2 × √2 на Lst:
L3 = (2 × √2) Lst =(2√2) Lst = (2√2) /√3 (33)
Четвёртый куб, концентрически окаймляющий третий куб (33), сформируем стороной в произведение 3 × √2 на Lst:
L4 = (3 × √2) Lst = (3√2) Lst = (3√2) /√3 (34)
Пятый куб, концентрически окаймляющий третий куб (34), сформируем стороной в произведение 4 × √2 на Lst:
L5 = (4 × √2) Lst = (4√2) Lst = (4√2) /√3 (35)
Шестой куб, концентрически окаймляющий третий куб (35), сформируем стороной в произведение 5 × √2 на Lst:
L6 = (5 × √2) Lst = (5√2) Lst = (5√2) /√3 (36)
Таким образом, поверхности концентрических кубов состоят из пар полуповерхностей кубов, образованных рёбрами (31) – (36).
Соотношение (28) для полученных кубов можно переписать как:
S = 2{3[(n × √2) Lst] 2} (37)
где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Конечно, n может быть больше 5, но ограничимся на этом числе натурального ряда (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5…, ∞).
Видно, что рёбра шести концентрических кубов составляют ряд чисел:
0 × √2; √2; 2√2; 3√2; 4√2; 5√2 (38)
кратных стандартному (эталонному) ребру Lst. Поверхности кубов составляют соответственно: 0; 4; 16; 36; 64; 100 равных поверхностей стандартного полукуба. Поверхность стандартного куба разделена на две равные полуповерхности, соответственно, поверхности концентрических 0–5 кубов разделены на: 0, 4, 16, 36, 64, 100 поверхностей стандартного полукуба.
Получилось Квадратное распределение натуральных чисел.
Каждый член ряда четных