Квадратные уравнения. Часть 1. Ирина Краева
Читать онлайн книгу.
рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.
Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.
Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.
(Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги.)
Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.
Возникает первый вопрос: обязательно трёх?
Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.
Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида
ax2 + bx = 0 (c = 0, ab ≠ 0),
ax2 + c = 0 (b = 0, ac ≠ 0),
ax2 = 0 (b = c = 0, a ≠ 0).
Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!
Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так
ax2 + bx +0 = 0,
ax2 +0 · x + c = 0,
ax2 +0 · x +0 = 0.
Так как количество слагаемых левой части уравнений ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0, ax2 = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.
Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.
Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a ≠ 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида ax2 + (a – 1) x + a = 0 (или в общем виде f (a) x2 + g (a) x + h (a) = 0) называть квадратным?
Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид bx + c = 0.
Но это же линейное уравнение! Оно имеет свою теорию, свои изюминки.
Пусть будут «мухи отдельно, котлеты отдельно».
Теперь понятно, что требование a ≠ 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени –