Квадратные уравнения. Часть 1. Ирина Краева
Читать онлайн книгу.второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.
Именно это и важно!
Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому – алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным2.
Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:
алгебраическое уравнение → первой степени, второй степени и так далее;
алгебраическое уравнение → с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.
Приведём примеры:
ax + b = 0 – уравнение первой степени с одной неизвестной;
ax + by + c = 0 – уравнение первой степени с двумя неизвестными;
ax2 + bx + c = 0 – уравнение второй степени с одной неизвестной;
ax2 + bxy + cy2 + kx + ly + m = 0 – уравнение второй степени с двумя неизвестными.
Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!
Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число – ноль. А может быть что-нибудь другое?
Если мы хотим видеть квадратное уравнение «в чистом виде», то ничего, кроме нуля, в правой части быть не должно. Но…
Рассмотрим уравнение ax2 + bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений3, можем записать
ax2 + bx + c – m = 0
ax2 + bx + (c – m) = 0
ax2 + bx + c1 = 0.
То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.
Ещё пример:
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + bx + c — mx – n = 0
ax2 + bx – mx + c – n = 0
ax2 + (b – m) x + (c – n) = 0
ax2 + b1 x + c1 = 0.
Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов
ax2 + bx + c = m и ax2 + bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.
Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.
Ситуация первая: ax2 + bx + c =ay2 + by + c.
Как бы
2
Подробнее смотрите в приложении.
3
О равносильности опять же смотри приложение.