Mechanik. Michael Schulz

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Mechanik - Michael Schulz


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      (2.84)image

      Die partiellen Ableitungen der Basisvektoren nach den Ortskoordinaten können wieder als Linearkombinationen der Basisvektoren dargestellt werden. Dazu verwendet man die sogenannten Christoffel-Symbole images, mit deren Hilfe man zu

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      bringen, wobei wir im ersten Term einfach den Summationsindex von α zu μ umbenannt haben. Aus dieser Beziehung lassen sich sofort die Komponenten der Beschleunigung in dem krummlinigen Koordinatensystem ablesen:

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      und schließlich wegen (2.77)

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      gelten muss. Beachtet man ferner (2.86), dann erhält man sofort die Symmetrie:

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      und deshalb

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      wobei die images die Komponenten des inversen metrischen Tensors g−1 sind. Mithilfe der Metrik können also alle 18 unabhängigen Christoffel-Symbole und damit alle Beschleunigungskomponenten sofort bestimmt werden. Wir bemerken abschließend, dass in einem kartesischen Koordinatensystem sämtliche Christoffel-Symbole identisch verschwinden.

      Die Kinematik kann dazu benutzt werden, aus einer Klasse von beobachteten Trajektorien einen Zusammenhang zwischen der Beschleunigung einerseits und der Position und der Geschwindigkeit des Massenpunktes andererseits herzustellen. Dabei ist es das Ziel der Kinematik, möglichst viele freie Bahnparameter zu eliminieren.

      Ein traditionelles Beispiel ist die Ableitung der Bewegungsgleichungen der Planetenbewegung aus den Kepler’schen Gesetzen. Diese lauten:

      1 Die Bahnen der Planeten um die Sonne sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet.

      2 Der von der Sonne zu einem Planeten gezogene Ortsvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).

      3 Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Bahnhalbachsen.

      dargestellt werden, wobei ε < 1 als Exzentrizität der Ellipse und p > 0 freie Parameter sind.

      Der Flächensatz erfordert, dass die während eines Zeitintervalls der fixen Länge dt überstrichene Fläche konstant ist. Bis auf Terme höherer Ordnung ist diese Fläche durch

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      gegeben. Dabei ist ds die in der Zeit dt durchlaufene Bogenlänge der Bahn. Die hieraus in der Grenze dt → 0 resultierende Flächengeschwindigkeit


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