Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega
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t es biyectiva. Algo semejante ocurre con f(x) = sen(x). La función s : [−π/2, π/2] → [−1, 1] dada por s(x) = sen(x) puede comprobarse que es una biyección.
¿Por qué es tan importante tener aplicaciones biyectivas? Esencialmente por dos razones. La primera es que una función biyectiva posee una función inversa. En el ejemplo anterior, la inversa de s es la función arcsen : [−1, 1] → [−π/2, π/2], mientras que la inversa de t es la función ráız cuadrada. La segunda razón es que si existe una función biyectiva entre A y B cualquier propiedad que satisfaga A desde el punto de vista de la teoría de conjuntos la va a satisfacer B, y recíprocamente. Es decir, que desde la perspectiva de conjuntos, A y B son equivalentes. Esto nos permitirá después, por ejemplo, comparar conjuntos y sus tamaños.
Si f : A → B y g : B → C, podemos crear una nueva función
g ∘ f : A → C
definida por
(g ∘ f)(a) = g(f(a))
que se llama la composición de g y f.
Por ejemplo, si f : ℝ → ℝ es la función f(x) = x2 + 1 y g(x) = sen(x), entonces (g ∘ f)(x) = sen(x2 + 1) y (f ∘ g)(x) = sen(x)2 + 1.
La primera parte del siguiente ejercicio nos dice que la composición de aplicaciones es asociativa.
Ejercicio 1.4 (i) Si f : A → B, g : B → C y h : C → D son aplicaciones, probar que
(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).
(ii) Si f : A → B es un aplicación, probar que f ∘ 1A = f y 1B ∘ f = f.
Lema 1.3 Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones.
(a) Si f y g son inyectivas, entonces g ∘ f es inyectiva.
(b) Si f y g son suprayectivas, entonces g ∘ f es suprayectiva.
(c) Si g ∘ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
(d) Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva.
Demostración. (a) Si g(f(a1)) = g(f(a2)), deducimos que f(a1) = f(a2) por ser g inyectiva. Por ser f inyectiva, tenemos que a1 = a2.
(b) Si c ∈ C, entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c, por ser g suprayectiva. Por ser f suprayectiva, existe a ∈ A tal que f(a) = b. Entonces g(f(a)) = c.
(c) Si f(a1) = f(a2), entonces g(f(a1)) = g(f(a2)). Como g ∘ f es inyectiva, deducimos que a1 = a2.
(d) Si c ∈ C, por hipótesis existe a ∈ A tal que g(f(a)) = c. Si b = f(a), deducimos que g(b) = c
Decimos que una función f: A → B es invertible si existe g: B → A tal que f ∘ g = 1B y g ∘ f = 1A. Observamos que la función g, si existe, es única. Efectivamente, si h: B → A también satisface h ∘ f = 1A, entonces
h = h ∘ 1B = h ∘ (f ∘ g) = (h ∘ f) ∘ g = 1A ∘ g = g.
La función g se llama la función inversa de f y se escribe g = f−1. Observamos que en este caso f−1 es también invertible y que (f−1)−1 = f.
Teorema 1.4 Sea f : A → B. Entonces f es invertible si y solo si f es biyectiva.
Demostración. Supongamos que f es biyectiva. Construimos g : B → A de la siguiente manera. Dado b, sabemos que existe a ∈ A tal que f(a) = b, pues f es suprayectiva. Como f es inyectiva, a es único, y por tanto b unívocamente determina a. Definimos g(b) = a. Es inmediato que f ∘ g = 1B y g ∘ f = 1A. Recíprocamente, supongamos que f es invertible y sea f−1 : B → A su inversa. Como f ∘ f −1 = 1B y f −1 ∘ f = 1A son biyectivas, el teorema se sigue por el lema 1.3 partes (c) y (d).
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Si A es un conjunto, una relación en A es un subconjunto
R ⊆ A × A.
Decimos que a está relacionado con b si (a, b) ∈ R. Podemos pensar que una relación es sencillamente una función f : A × A → {sí, no}, donde R = {(a, b) ∈ A × A | f(a, b) = sí}.
Por ejemplo, en el conjunto A = {1, 2, 3}, definimos la relación
R = {(1, 1), (1, 2), (3, 2)}.
En este caso, 1 está relacionado con 1 y con 2, 2 no está relacionado con ningún elemento, y 3 está relacionado con 2. Muchas veces, en lugar de especificar R, es más sencillo describir cuándo dos elementos están relacionados. Por ejemplo, en el conjunto A de los habitantes de una ciudad, podemos decir que dos elementos de A están relacionados si viven en el mismo edificio. En este caso, observamos que cualquier a ∈ A está relacionado consigo mismo, entre otras propiedades que analizamos a continuación. Necesitamos cierto lenguaje para hablar de relaciones.
Definición 1.5 Sea A un conjunto y R ⊆ A × A una relación en A.
(a) Decimos que R es reflexiva si (a, a) ∈ R para todo a ∈ A.
(b) Decimos que R es simétrica si siempre que (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R.
(c) Decimos que R es antisimétrica si siempre que (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b.
(d) Decimos que R es transitiva si siempre que (a, b), (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R.
Muy pocas relaciones en un conjunto A son interesantes. De hecho, las relaciones interesantes son esencialmente de dos tipos. Una relación R es de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación R es una relación de orden si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.