Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega
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como clases de equivalencia. (En el problema 1.10, explicamos cómo hacer esta construcción).
En la segunda parte de este libro, cuando desarrollemos la teoría de Galois, trabajaremos con el conjunto de números reales ℝ y el de los complejos ℂ. La construcción rigurosa de ℝ es uno de los hitos de la matemática del siglo XIX, pero esta es materia de nuestros colegas los analistas. Apenas utilizaremos propiedades de los números reales, más que aquellas que están directamente asociadas a su suma, multiplicación (ℝ es un cuerpo) y a los polinomios. Por ejemplo, dado 0 ≤ a ∈ ℝ y 0 < n ∈ ℕ supondremos que existe un único número real 0 ≤ b ∈ ℝ tal que bn = a. Este número b se escribe
Recordamos que un entero n ∈ ℕ es un cuadrado si n = a2 para cierto a ∈ N.
Teorema 1.16 Sean n, m ∈ ℕ no cero con mcd(n, m) = 1. Entonces
Demostración. Suponemos que
donde a, b ∈ ℕ. Entonces
b2n = a2m.
Como n y m son coprimos, sabemos que p no divide a m. Por tanto, si pe es la mayor potencia de p que divide a b, tenemos que
Como decimos, en la segunda parte del libro estaremos interesados en polinomios y en sus ráıces. Por ejemplo, ¿cuáles son los ceros del polinomio x8 − 1? Para contestar, necesitamos trabajar con números complejos y una cierta trigonometría.
El cuerpo de los nú meros complejos ℂ se define formalmente como el conjunto ℝ2 = {(a, b) | a, b ∈ ℝ} con la suma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y la multiplicación (a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc). Si llamamos i = (0, 1), vemos que i2 = (−1, 0). Si identificamos a con (a, 0), podemos escribir (a, b) = a+bi, que es la notación que vamos a utilizar. Así, por ejemplo, tenemos que ℝ ⊆ ℂ o que
Teorema 1.17 (fórmula de De Moivre) Si a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, entonces
(cos(a) + sen(a)i)n = cos(na) + sen(na)i.
Demostración. Si suponemos las igualdades trigonométricas
cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)
y
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β),
la fórmula de De Moivre es inmediata por inducción sobre n.
Con la fórmula de De Moivre, ya podemos calcular los ceros del polinomio xn − 1: son los n números complejos ξk, donde
y 0 ≤ k ≤ n−1. Estos n números complejos son muy importantes y se denominan las ráıces n-ésimas de la unidad. Los podemos situar en la circunferencia de radio 1 al dividirla en n-ángulos iguales. Por ejemplo, las ráıces 4-ésimas de la unidad son {1, i, −1, −i}.
PROBLEMAS
1. Sean A, B, C conjuntos. Probar:
(i) Si A ∩ B = A ∩ C y A ∪ B = A ∪ C, entonces B = C.
(ii) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).
(iii) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C).
(iv) A − (A − B) = A ∩ B.
(v) (B ∪ C) − A = (B − A) ∪ (C − A).
(vi) (A − B) − C = (A − B) ∩ (A − C).
2. Sea f : X → Y una aplicación. Si A ⊆ X, se define f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Si B ⊆ Y, se define f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}.
(i) Si A ⊆ X, probar que A ⊆ f−1(f(A)).
(ii) Probar que f es injectiva si y solo si A = f−1(f(A)) para todo A ⊆ X.
(iii) Si B ⊆ Y, probar que f(f−1(B)) ⊆ B.
(iv) Probar que f es suprayectiva si y solo si f(f−1(B)) = B para todo B ⊆ Y.
3. Sea f : X → Y una aplicación. Si A y B son subconjuntos de X, probar que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) y f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B). Probar que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) para todos los subconjuntos A, B ⊆ X si y solo si f es inyectiva.
4. Una aplicación f : X → Y es invertible izquierda si existe g : Y → X tal que g ∘ f = 1X. Se dice que f es invertible derecha si existe g : Y → X tal que f ∘ g = 1Y. Probar que f es inyectiva si y solo si f es invertible a izquierda. Probar que f es suprayectiva si y solo si f es invertible a derecha.
(Nota: Para probar que si f es suprayectiva entonces f tiene inversa a derecha necesitamos el llamado axioma de elección. El axioma de elección afirma que si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos, entonces