Un curso de álgebra. Gabriel Navarro Ortega
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lógica para que renuncie al álgebra.
La siguiente propiedad de ℕ es fundamental: nos dice que en ℕ existe un buen orden.
Teorema 1.9 (teorema del buen orden en ℕ) Si A es un subconjunto no vacío de ℕ entonces existe a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ A. Este elemento a es único.
Demostración. Primero probamos la existencia de a. Como A no es vacío, sea a1 ∈ A. Si a1 ≤ b para todo b ∈ A, ya tendríamos el elemento que buscamos. En caso contrario, existe a2 ∈ A tal que a2 < a1. Si a2 ≤ b para todo b ∈ A, de nuevo lo tendríamos. Como entre 0 y a1 hay solo un número finito de elementos, este proceso no se puede repetir un número infinito de veces. Así, podemos llegar a encontrar a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ A.
A continuación probamos la unicidad de a. En efecto, si existiera otro elemento c ∈ A con la misma propiedad, tendríamos que a ≤ c y c ≤ a, con lo que a = c.
Al elemento a en el teorema 1.9 se le llama el menor elemento de A, y lo denotamos por min(A).
Decimos que un conjunto A es numerable si |ℕ×| = |A|, donde ℕ× = {1, 2, 3, …}. Algunos autores incluyen los conjuntos finitos entre los conjuntos numerables. Vemos que si A es numerable, entonces existe una aplicación biyectiva f : ℕ× → A, y así podemos escribir
A = {f(1), f(2), f(3), …}.
En definitiva, si A es numerable, entonces los elementos de A se pueden enumerar.
Teorema 1.10 Supongamos que A es un subconjunto infinito de ℕ. Entonces A es numerable.
Demostración. Como A no es vacío, sea a1 = min(A). Como A − {a1} no es vacío, sea a2 = min(A − {a1}). En general, si tenemos definidos a1, …, ak, como A − {a1, …, ak} no es un conjunto vacío (pues A es infinito), podemos definir
ak+1 = min(A − {a1, …, ak})
para k ≥ 0. Observamos pues que tenemos definidos
a1 < a2 < … < ak < ak+1 < …
una cadena de elementos de A. Definimos f : ℕ× → A con f(k) = ak. Como an < am si n < m, observamos que f es inyectiva.
Probamos finalmente que f es suprayectiva. Sea a ∈ A. Sea B = {n ∈ A | n < a}. Si B = ∅, entonces a = a1 = f(1). En otro caso, B es un conjunto finito no vacío, que por tanto se puede escribir B = {a1, …, at} para algún t. Entonces a = at+1 = f(t + 1), y el teorema queda probado.
Corolario 1.11 Si A es numerable y B ⊆ A, entonces B es finito o numerable.
Demostración. Supongamos que B es infinito. Sea f : A → ℕ× una aplicación biyectiva. Aplicamos el teorema 1.10 al conjunto infinito f(B).
En los problemas guiaremos al lector sobre cómo probar que el conjunto de los números racionales es numerable, o que el de los números reales no lo es, entre otras propiedades.
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El conjunto de los números enteros es
ℤ = {…, −n, …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …, n, … | n ∈ ℕ}.
Suponemos que el lector está familiarizado con la suma y la multiplicación de números enteros. Es decir, en ℤ podemos sumar y multiplicar elementos: 2 + 3 = 5 o (−3)3 = −9. (Más adelante, diremos que ℤ con estas operaciones es un anillo). También utilizamos que ℤ es un conjunto con un orden: 3 > 0, −5 ≤ 5 o 2 ≤ 2.
Estamos acostumbrados a dividir dos números enteros n y m, y obtener un dividendo d y un resto r. Este es el llamado algoritmo de división.
Teorema 1.12 (algoritmo de división) Sean n ∈ ℤ y 0 < m ∈ ℕ. Entonces existen dos únicos enteros d y r tales que n = dm + r con 0 ≤ r < m.
Demostración. Consideremos el conjunto A = {n−dm | d ∈ ℤ y n−dm ≥ 0}. Es decir, A está formado por los números naturales de la forma n − dm, con d ∈ ℤ. Si n ≥ 0, entonces n − (−n)m = n(1 + m) ≥ 0, y deducimos que n(1 + m) ∈ A. Si n ≤ 0, entonces n − nm = n(1 − m) ≥ 0, y deducimos que n − nm ∈ A. En cualquier caso, concluimos que A ≠ ∅. Por el teorema 1.9, sea r el menor elemento de A. Como r ∈ A, entonces existe d ∈ ℤ tal que n − dm = r. Por tanto, n = dm + r. Si r ≥ m, tendríamos que
0 ≤ r − m = (n − dm) − m = n − (d + 1)m ∈ A.
Pero r es el menor elemento de A y r − m < r. Esta contradicción prueba que r < m. Por tanto, hemos hallado d y r tales que n = dm + r con r < m.
Supongamos finalmente que d1 y 0 ≤ r1 < m también satisfacen que n = d1m + r1. Supongamos que r1 ≥ r, por ejemplo. Como n = dm + r = d1m + r1, tendremos que 0 ≤ r1 − r = (d − d1)m ≤ r1 < m. Necesariamente, d − d1 = 0 y por tanto r1 = r.
Vemos que el algoritmo de división es una consecuencia del teorema del buen orden en ℕ. Otra consecuencia de este es el llamado principio de inducción. En la práctica funciona así: Queremos probar que a partir de un cierto número natural k (habitualmente el 0 o el 1), todos los naturales mayores o iguales que k satisfacen una cierta propiedad. La estrategia que seguimos es la siguiente: primero probamos que k satisface la propiedad; y después probamos que si n ≥ k la satisface, entonces n + 1 también la satisface. El principio de inducción garantiza, entonces, que cualquier n ≥ k satisface la propiedad. En efecto, sea A el conjunto de números naturales mayores o iguales que k que satisfacen la propiedad, y sea B = {n ∈ ℕ | n ≥ k}. Queremos probar que A = B. Como A ⊆ B, en caso contrario tendríamos que
∅ ≠ B − A = {b ∈ B | b ∉ A} ⊆ ℕ.
Por el teorema del buen orden en ℕ,