Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses
Читать онлайн книгу.
cal subdividir els camps de variació de q i p en intervals discrets
La fig. 15 mostra la trajectòria fàsica en l'espai (x,p) d'una partícula que segueix un moviment 1D amb energia E = p2/2m dins d'una capsa de longitud 2a [de la Rubia i Brey. cap. 2]. Els segments de punts indiquen el canvi quasi instantani en el sentit del moment lineal p de la partícula en col·lidir elàsticament amb les parets de la capsa en x = ±a, considerades aquestes com a barreres «infinites» de potencial. Per simplicitat, s'ha omès la subdivisió en cel·les de la fig. 14 en la trajectòria de la fig. 15.
Figura 14
Figura 15
La fig. 16a representa l'espai fàsic per a un oscil·lador harmònic que segueix un moviment ID amb una energia entre E i E + δE, sent
La regió accessible de l'espai fàsic està formada per l'àrea compresa entre les dues el lipses de la fig. 16a, i conté un cert nombre de cel les (estats de la partícula) de volum arbitrari h0 corresponents a parells de valors (x, p). En una descripció clàssica no existeix una grandària mínima de cel·la, de manera que cada estat del sistema es pot representar per un volum arbitràriament petit i, en el límit, per un punt. En una descripció quàntica, però, l'espai fàsic està quan- titzat en cel·les de grandària mínima
Figura 16a
Figura 16b
La quantització de l'espai fàsic en cel·les de grandària definida h3N per a un sistema de N partícules en moviment 3D suposa obviar l'arbitrarietat de la descripció clàssica respecte a la grandària de cel·la, i permet obtindré la constant de Planck mitjançant la relació existent entre Ventropia absoluta i el nombre d'estats quàntics accessibles per a un sistema, tal com veurem en capítols posteriors. Històricament, aquesta determinació va contribuir a atorgar credibilitat a la Mecànica Quàntica, i fou realitzada uns pocs anys abans que Sommerfeld presentara les seues famoses regles de quantització [Gopal, cap. 2; Kittel i Kroemer, cap. 5].
5.2 Sistemes de molts graus de llibertat
L'enumeració dels estats accessibles per a un sistema amb molts graus de llibertat (diguem f ~ NA, on NA és el nombre d'Avogadro) mena a resultats a primera vista sorprenents. Considerarem a tall d'exemple el comportament del quocient format pel volum d'una escorça esfèrica de gruix s « R en un espai de/dimensions i el volum d'una hiperesfera de radi R en l'esmentat espai quan l'energia total del sistema canvia lleugerament [McQuarrie, problema 7–10]. El radi R ve donat per l'energia total E del sistema i el gruix s de l'escorça per la variació d'energia δE (vegeu la fig. 17).
Considerem dues hiperesferes en l'espai de f dimensions, una de radi R i una altra de radi R - s (vegeu la fig. 17). Els seus volums vénen donats per les expressions
Figura 17
de manera que el quocient entre el volum de l'escorça situada entre ambdues hiperesferes i el volum de la hiperesfera anterior és
ja que s « R. Aquest quocient és negligible en un espai amb f= 3, però no ho és quan f ~ NA, com és típic d'un sistema macroscopic. Per elaborar més aquest argument, suposem que les N ~ NA partícules del sistema només posseeixen moviments de translació que contribueixen a l'energia total en la forma
on pi és una de les tres components del moment lineal d'una de les NÁ partícules del sistema, de manera que f= 3NA. Els estats del sistema d'energia menor o igual que E es distribueixen, doncs, en el volum d'una hiperesfera de radi
en el radi de la hiperesfera, de manera que el quocient en l'eq. (36) és
L' eq. (39) mostra que un petitíssim augment relatiu en l'energia δE/E menor però de l'ordre de 2/NA provoca un augment important en el volum accessible (vegeu l'eq. 36) i, per tant, en el nombre d'estats accessibles al sistema de N partícules. El creixement espectacular12 del nombre d'estats accessibles per a un sistema amb la seua energia és una característica molt important dels sistemes amb molts graus de llibertat, i determina les propietats macroscopiques dels susdits sistemes, tal com veurem en el tema següent.
6. Descripció microscòpica