Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses
Читать онлайн книгу.
moments d'ordre n. Són també d'interès el valor mitjà de la desviació
i la dispersió ( o moment central de segon ordre)
Notem que en aquest cas cada terme de la suma en l'eq. (9) és positiu o nul, ja que
La magnitud ∆*u és una mesura lineal de l'amplitud del recorregut en què la variable u està distribuïda. El quocient
Estem en condicions d'aplicar ara les definicions i resultats de les eqs. (9) –(13) al cas particular de la distribució binòmia de l'eq. (6). A partir de l'eq. (10), resulta
prenent p i q com a dues variables independents a l'efecte de la derivació, i substituint (p + q) = 1 una vegada efectuada aquesta. Conegut
La dispersió es pot ara avaluar de la forma
on hem fet ús de
amb
amb
Figura 9a
Figura 9b
3.3 Distribució de Gauss
La distribució de probabilitats de Gauss o distribució gaussiana es pot obtindré com a límit de la distribució binòmia quan N pren valors grans. Abans de demostrar aquest resultat, exposarem de forma breu com es pot passar d'una distribució de probabilitats W de variable aleatòria ui discreta a una altra distribució w de variable u contínua [de la Rubia i Brey, cap. 1].
Una variable aleatòria contínua es defineix mitjançant la funció densitat (o distribució) de probabilitat w(u) el significat de la qual és tal que
w(u)du = probabilitat que la variable u prenga un valor dins de l'interval comprès entre u i u+du.
Suposem una variable aleatòria discreta ui amb distribució de probabilitat W(ui). Per a major senzillesa, admetrem que la diferència entre dos valors consecutius de la variable anterior pren un valor constant δu, de manera que ui+1 - ui = δu, ∀i. Admetrem a més que δu és suficientment petita com perquè puguem definir un du que, tot i permetent la utilització del càlcul diferencial, siga molt més gran que δu (vegeu la fig. 10).
Figura 10
Finalment, suposarem que la variació de W amb ui és suficientment lenta com perquè W(ui) siga aproximadament constant per a tots els ui situats dins un mateix interval d'amplitud du. Tenint en compte que en l'interval du hi ha du/δu valors permesos de la variable discreta, w(u)du = W(punts en l'interval du) x du/δu, que permet passar d'una distribució discreta a una altra contínua i viceversa. Totes les definicions referents a valors mitjans i normalitzacions vistes per a una variable discreta es poden traslladar al cas continu substituint sumatoris per integrals, i tenint en compte que es possible estendre el rang de qualsevol variable aleatòria contínua des de -∞ a +∞ simplement considerant nuls els valors de la funció densitat de probabilitat corresponents a valors no possibles de la variable aleatòria. L'eq. (9) queda aleshores així
Estem ja en condicions d'estudiar el límit de la distribució binòmia en l'eq. (6) quan N → ∞. Aquest límit està tractat de forma rigorosa en la bibliografia [de la Rubia i Brey, cap. 1; Reif, cap. 1], i ací ens limitarem tan sols a esbossar-ne els detalls més importants. Si N pren un valor gran, la distribució binòmia tendeix a presentar un màxim molt pronunciat al voltant de