Manual de Física Estadística. Salvador Mafé Matoses
Читать онлайн книгу.
dels sistemes físics a partir d'una descripció microscòpica d'aquests. El model microscopic d'un sistema físic es construeix tenint en compte l'estructura de les partícules que el componen i les forces d'interacció entre elles, dades que es dedueixen parcialment dels resultats experimentals disponibles junt amb les hipòtesis necessàries.
L'únic punt de connexió inicial entre la descripció macroscòpica i la microscòpica que necessitarem consisteix en la identificació de l'energia interna termodinàmica amb el total de l'energia que posseeixen les partícules que componen el model estadístic sobre l'escala microscòpica. Amb aquesta identificació, el Primer Principi de la Termodinàmica es tradueix en un principi de conservació de l'energia mecànica, la qual cosa implica que el model microscopic mecànic associat a un sistema macroscopic ha de ser conservatiu.
Entre la descripció macroscòpica d'un sistema i la descripció del seu estat microscopic hi ha diferències molt importants [Callen, cap. 1; Reif (2), cap. 1]. La Termodinàmica admet que un estat macroscopic d'equilibri queda totalment especificat per mitjà dels valors dels paràmetres externs del sistema (o siga, aquelles variables termodinàmiques fixades per agents externs al sistema, com ara el volum) i la temperatura. Un estat microscopic, per contra, requereix de l'ordre de f ~ NA coordenades i moments generalitzats.
Tal com hem comentat al llarg de les seccions 1 i 4, hi ha un gran nombre d'estats microscòpics compatibles amb un estat macroscopic donat.13 En aquest manual, denominarem els estats definits microscòpicament microestats i els definits sobre una escala macroscòpica macroestats. La Física Estadística assigna determinades probabilitats a priori a cadascun dels microestats accessibles al sistema (≡ compatibles amb el macroestat donat), calcula els valors mitjans de les magnituds basant-se en aquesta distribució de probabilitats i identifica aquests valors mitjans amb els paràmetres macroscòpics que defineixen l'estat d'un sistema. Aquesta identificació té caràcter de postulat fonamental, tal com veurem en el següent capítol.
La hipòtesi anterior constitueix una de les bases fonamentals sobre les que s'assenta la Física Estadística, i assigna un caràcter aleatori a les propietats termodinàmiques d'un sistema. Aprofundirem a continuació sobre aquest caràcter aleatori [de la Rubia i Brey, cap. 3]. Des d'un punt de vista termodinàmic, un sistema en equilibri posseeix una energia interna ben determinada i constant en el temps. En construir el conjunt de microestats compatibles amb un macroestat d'aquest tipus, hem d'assegurar-nos que el valor mitjà de l'energia d'aquest conjunt coincideix amb l'energia interna macroscòpica. No cal dir que açò es pot aconseguir si triem tots els microestats de manera que tinguen justament l'esmentat valor de l'energia interna, assignant probabilitat nul·la a aquells que corresponguen a una energia distinta a la del sistema macroscopic. Però també podem aconseguir el mateix valor mitjà considerant microestats que corresponguen a distints valors de l'energia sempre que la distribució de probabilitats dels microestats s'elegesca de manera que el valor mitjà de l'energia obtingut amb ella coincidesca amb el seu valor macroscopic (notem que el valor mitjà d'una variable aleatòria no té, en general, una probabilitat igual a un). ¿Quina alternativa elegir? Si el sistema està rigorosament aïllat de manera que no pot intercanviar energia amb l'exterior, sembla lògic triar la primera alternativa. Per contra, si el sistema pot intercanviar energia amb l'entorn exterior, fins i tot quan la seua energia romanga macroscòpicament constant a causa del fet que es troba en equilibri amb l'esmentat entorn, no es pot excloure la possibilitat que realitze en realitat oscil·lacions microscòpiques a l'entorn del susdit valor macroscopic (que coincideix amb el valor mitjà). Per tant, per a sistemes no aïllats, la segona alternativa sembla més acord amb la realitat.
Aprofundim un poc més en la descripció física d'un sistema no aïllat en equilibri termodinàmic. En particular, considerem la variació de l'energia interna del sistema E amb el temps t (vegeu la fig. 18). La descripció termodinàmica correspon a la línia discontínua, de manera que el valor macroscopic de l'energia E coincideix amb el valor mitjà
Figura 18
És possible considerar també el cas d'un sistema no aïllat obert en equilibri termodinàmic, de manera que per a l'esmentat sistema el valor macroscòpic del nombre de partícules que conté coincidesca amb el valor mitjà calculat sobre el conjunt de microestats accessibles. Tal com es podia esperar, les fluctuacions relatives decreixen apreciablement amb el nombre de partícules en aquest cas [Reif (2), cap. 1]. L'estudi de les fluctuacions constitueix un dels capítols més interessants de la Física Estadística, i serà considerat al llarg d'aquest manual.
7. Límit termodinàmic
Amb certa freqüència al llarg del curs prendrem el límit N → ∞ suposant implícitament una equivalència macroscòpica del sistema considerat en aquest límit. És convenient explicar una mica més aquesta qüestió. Si multipliquem per dos el nombre de partícules que es troben dins d'una caixa de volum V, aleshores hem de multiplicar també per dos aquest volum si els dos sistemes han de ser macroscòpicament equivalents. Si no ho fem així, la densitat del sistema canvia, i amb ella la condició d'equivalència macroscòpica. (Un raonament semblant seria d'aplicació també a l'energia total del sistema.) Per tant, el límit anterior correspon a N → ∞ i V → ∞ de forma que N/V = n (una constant finita). Aquest procediment és típic en molts problemes de Física Estadística, i sol anomenar-se el límit termodinàmic [Balescu, cap. 3; Garrod, cap. 3].
8. Passat/Present
Els sistemes macroscòpics com ara gasos, líquids i sòlids van començar a ser investigats sistemàticament (en un principi de forma fenomenològica) a començament del segle XIX. Les primeres lleis descobertes formaren el cos de la Termodinàmica clàssica. En la segona meitat de l'esmentat segle s'acumularen les proves en favor de la constitució atòmica de la matèria, la qual cosa va marcar l'inici de l'estudi microscòpic dels sistemes constituïts per un gran nombre de partícules (molècules, àtoms, e-, etc.). Ja en el segle XX, la Física Estadística s'ha beneficiat dels importants desenvolupaments efectuats en altres parts de la Física, Química i Matemàtiques. Una menció especial mereixen: (i) la Mecànica Quàntica, que permeté superar una gran quantitat de dificultats sorgides en tractar d'aplicar els conceptes clàssics a problemes com les propietats del gas de e" de conducció o la radiació emesa per un cos negre, i (ii) els mètodes moderns d'atac del problema de «molts cossos», que han permès l'estudi dels sistemes de partícules en interacció com els líquids i d'altres fluids densos mitjançant tècniques pertorbatives i computacionals.
Històricament [Reif, cap. 1], la Termodinàmica es desenvolupà abans que s'establira la naturalesa atòmica de la matèria. La idea segons la qual la calor és una forma d'energia va ser inicialment proposada pel comte Rumford i Davy a finals del segle XVIII, si bé van ser els treballs de Mayer i, especialment, de Joule realitzats a mitjan segle XIX els que resolgueren aquesta qüestió. El 1824, Carnot va fer servir conceptes de la teoria del calòric en la primera anàlisi sistemàtica coneguda d'una màquina tèrmica. Una formulació consis-tent de la teoria termodinàmica va ser presentada per Clausius i Kelvin al voltant de 1850, i completada posteriorment per Gibbs (1876-1878) en una sèrie de treballs fonamentals que estan vigents encara a hores d'ara.
Els primers enfocaments microscòpics per a l'estudi dels problemes macroscòpics començaren amb l'estudi de la Teoria Cinètica dels Gasos (diluïts), amb aportacions de Clausius, Maxwell (llei de distribució de velocitats moleculars, 1859) i Boltzmann (equació integro-diferencial de Boltzmann, 1872). El desenvolupament de mètodes sistemàtics per a la resolució