Энциклопедия финансового риск-менеджмента. Алексей Лобанов
Читать онлайн книгу.
1.54. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7 % и стандартным отклонением 4 %.
Вероятность того, что реализуемая доходность окажется:
4. Если случайная величина ξ распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина
распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартное нормальное распределение.
Пример 1.55. Менеджер считает, что стоимость управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн долл. и стандартным отклонением 2 млн долл. Его интересует, какова вероятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн и 11 млн долл.
В данном случае
Пример 1.56. Предположим, что в условиях примера 1.55 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95 %. Иными словами, требуется найти интервал
Тогда Ф(z) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Значит, y = z · S = 1,96 · 2 млн долл. = 3,92 млн долл.
Искомый доверительный интервал: (6,08 млн долл.; 13,92 млн долл.).
1.22.4. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение
Говорят, что положительная случайная величина ξ распределена логнормально (lognormal distribution), если ln ξ имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид:
График плотности логнормального распределения приведен на рис. 1.25.
1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрией (positively skewed), а при малых значениях S = σ(lnξ) близко к нормальному распределению.
2. Если случайная величина ξ имеет логнормальное распределение с параметрами а и S, то
Пример 1.57. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.
3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.
1.22.5. Распределение х2 (хи-квадрат)
Говорят, что случайная величина z имеет распределение х2 (chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.
Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:
Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом: