Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

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Estructuras de álgebra multilineal - Joaquín Olivert Pellicer


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sustanciales del sistema desarrollado por Neumann-Bernays- Gödel como, entre otras, fue la de función proposicional, es decir, funciones que tomen dos valores: el de “verdadero” y el de “falso” (llamados valores de verdad); y con algunos retoques dados por J.L. Kelly, cuando insiste que una fórmula que defina una clase debe comprender los conjuntos que la satisfagan.

      Puesto que vamos a utilizar operaciones lógicas, no está de más recordar las más elementales. En la Lógica Matemática se las distinguen entre juntores y cuantores. Los juniores empleados son: el negador -> (niega la proposición en donde aplica, es decir, si p es verdadera, ->p es falsa; y viceversa), el conjuntor A (la sentencia p A q es verdadera si p y q lo son, y falsa en los demás casos), el disyuntor V (p V q es falsa si p y q son falsas, y es verdadera en los restantes casos), el implicador =>? (p q es falsa si p es verdadera y q es falsa, la sentencia será verdadera en las otras posibilidades), el coimplicador p = q es veradera si p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas, y será falsa si una es verdadera y la otra falsa). Hemos de resaltar que en el lenguaje ordinario el conjuntor corresponde a la conjunción y, el disyuntor se asocia a la conjunción disyuntiva inclusiva ó, el implicador responde a la oración gramatical si…, entonces... y el coimplicador se refiere a si y sólo si.

      Respecto a los cuantores, haremos uso del cuantificador universal V (para todo) y del cuantificador existencial 3 (existe un).

      Otras constantes que se emplean en matemáticas, como es G y otras que iremos utilizando a lo largo del texto.

      En primer lugar partimos de dos axiomas básicos :

      I Axioma de extensión

      Dos clases son iguales si los elementos de la primera pertenecen a la segunda; y los elementos de la segunda también son miembros de la primera clase. Dos clases x, y son iguales, se representará por

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      Un segundo axioma que necesitamos es

      II Axioma de clasificación

      La sentencia

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      es equivalente afirmar que

image

      En realidad el Axioma de clasificación nos dice que la variable X sometida a propiedades específicas, sentencias definitorias o fórmulas clasificatorias (simbolizadas por una función proposicional Px) puede ser sustituida por el conjunto u, Pu, es decir que u goza de las mismas propiedades que la variable x (además de ser conjunto).

      Definición 1.3: Sean x, y clases,

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      En la primera definición se lee “x unión y” y el símbolo U es conocido por unión. En la segunda se entiende “x intersección y” y el símbolo fl es llamado intersección.

      Las propiedades que se desprenden de estas definiciones se deducen inmediatamente del Axioma de clasificación :

image image

      Las siguientes propiedades se prueban a partir del Axioma de extensión con la ayuda de las Propiedades image

image image image image

      Definición 1.4: image si y sólo si es falso image

      image se lee “x no pertenece a y”.

      Definición 1.5:Sea x una clase. La clase complementaria image se define como

image

       Proposición 1.6: = x.

       Demostración :

      Tomemos image Luego es falso que image. Por la Definición 1.4, image Y por la Definición 1.5, image Con ello hemos probado que los elementos de la clase image pertenecen a la clase x.

      Invirtiendo el orden de la demostración, se prueba que los elementos de la clase x también pertenecen a la clase image

      En virtud del Axioma de extensión, las dos clases son iguales.

      Teorema (De Morgan): image.

       Demostración :

      Sólo probaremos una de ellas, por ejemplo la image. Tomemos image, luego es falso que image, es decir que image. En virtud de la Definición 1.3, Luego .

      La inclusión contraria se obtiene invirtiendo el orden de la demostración.

      De nuevo aplicamos el Axioma de extensión para afirmar que las dos clases son iguales.

      Definición 1.7: Por complementario de y relativo a x, entenderemos

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      Con frecuencia se simboliza x ~ y por Cxy.

      Proposición


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