Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer
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sustanciales del sistema desarrollado por Neumann-Bernays- Gödel como, entre otras, fue la de función proposicional, es decir, funciones que tomen dos valores: el de “verdadero” y el de “falso” (llamados valores de verdad); y con algunos retoques dados por J.L. Kelly, cuando insiste que una fórmula que defina una clase debe comprender los conjuntos que la satisfagan.
Puesto que vamos a utilizar operaciones lógicas, no está de más recordar las más elementales. En la Lógica Matemática se las distinguen entre juntores y cuantores. Los juniores empleados son: el negador -> (niega la proposición en donde aplica, es decir, si p es verdadera, ->p es falsa; y viceversa), el conjuntor A (la sentencia p A q es verdadera si p y q lo son, y falsa en los demás casos), el disyuntor V (p V q es falsa si p y q son falsas, y es verdadera en los restantes casos), el implicador =>? (p q es falsa si p es verdadera y q es falsa, la sentencia será verdadera en las otras posibilidades), el coimplicador p = q es veradera si p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas, y será falsa si una es verdadera y la otra falsa). Hemos de resaltar que en el lenguaje ordinario el conjuntor corresponde a la conjunción y, el disyuntor se asocia a la conjunción disyuntiva inclusiva ó, el implicador responde a la oración gramatical si…, entonces... y el coimplicador se refiere a si y sólo si.
Respecto a los cuantores, haremos uso del cuantificador universal V (para todo) y del cuantificador existencial 3 (existe un).
Otras constantes que se emplean en matemáticas, como es G y otras que iremos utilizando a lo largo del texto.
El plan de nuestra exposición es introducir paulatinamente los axiomas a medida que se necesiten, con el fin de llegar a una teoría conjuntista si no completa (que no lo es, y tampoco podría serlo 1), al menos carente de contradicciones lógicas en el momento actual.
En primer lugar partimos de dos axiomas básicos :
I Axioma de extensión
Dos clases son iguales si los elementos de la primera pertenecen a la segunda; y los elementos de la segunda también son miembros de la primera clase. Dos clases x, y son iguales, se representará por
Un segundo axioma que necesitamos es
II Axioma de clasificación
La sentencia
es equivalente afirmar que
En realidad el Axioma de clasificación nos dice que la variable X sometida a propiedades específicas, sentencias definitorias o fórmulas clasificatorias (simbolizadas por una función proposicional Px) puede ser sustituida por el conjunto u, Pu, es decir que u goza de las mismas propiedades que la variable x (además de ser conjunto).
Definición 1.3: Sean x, y clases,
En la primera definición se lee “x unión y” y el símbolo U es conocido por unión. En la segunda se entiende “x intersección y” y el símbolo fl es llamado intersección.
Las propiedades que se desprenden de estas definiciones se deducen inmediatamente del Axioma de clasificación :
Las siguientes propiedades se prueban a partir del Axioma de extensión con la ayuda de las Propiedades
Definición 1.4:
Definición 1.5:Sea x una clase. La clase complementaria
Proposición 1.6: = x.
Demostración :
Tomemos
Invirtiendo el orden de la demostración, se prueba que los elementos de la clase x también pertenecen a la clase
En virtud del Axioma de extensión, las dos clases son iguales.
Teorema (De Morgan):
Demostración :
Sólo probaremos una de ellas, por ejemplo la
La inclusión contraria se obtiene invirtiendo el orden de la demostración.
De nuevo aplicamos el Axioma de extensión para afirmar que las dos clases son iguales.
Definición 1.7: Por complementario de y relativo a x, entenderemos
Con frecuencia se simboliza x ~ y por Cxy.
Proposición