Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.

       Demostración :

      Tomemos z . Por definición de , z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema 2.1 nos conduce a que es conjunto.

      Cuando x es un conjunto, el conjunto se le suele llamar el conjunto partes de x.

      Teorema 2.8:

       Demostración :

      Tomemos un elemento , que será, por tanto, un conjunto. En consecuencia z G U. Por otra parte, cada elemento x de U es un conjunto y el Teorema 1.15 nos asegura que x C U. Por la Definición 2.6, se concluye que x

1.3 Singuletes y pares ordenados

      Estudiemos ahora un tipo especial de clases formadas a partir de un solo elemento, entendiendo en este caso por “elemento” una clase o un conjunto. Estas nuevas clases jugarán un papel preponderante en la definición de par ordenado.

      Definición 3.1: {x} = {z : x z = }La clase {x} es llamada singulete de la clase x.

       Teorema 3.2:

      1º Si x es un conjunto, entonces, para cada y, y º {x} si y sólo si y = x.

      2º Si x es un conjunto, entonces {x} es un conjunto.

      3^º {x} = si y sólo si x no es un conjunto.

       Demostración :

      1^º Tomemos y {x}. Al ser x un conjunto es verdadero x G U. Por el Axioma de clasificación, y = x.

      2^º Al ser x un conjunto, y {x} es un conjunto contenido en x, y x (pues al ser x = y podemos aplicar la Propiedad de la Sección ). Por la Definición 2.6, y , es decir que {x} ), en virtud de la Definición 1.14.

      Por otra parte, según vimos en el Teorema 2.7, es un conjunto. Finalmente recurrimos al Teorema 2.1, que conduce a que {x} es un conjunto.

      3^º Si x no es un conjunto es falso x U y que z = x, ya que por el Axioma de clasificación z es conjunto. Entonces es verdadera la implicación x => z = x para todo z .

      Proposición 3.3: Si x es un conjunto, entonces {x} = x y {x} = x ; si x no es un conjunto {x} = y {x} = .

       Demostración :

      Si x es un conjunto, por el Teorema 3.2,1º, sólo tiene un elemento y = x, que es subconjunto de x. Entonces {x} = x y {x} = x ; .Potra parte, si x no es un conjunto, el Teorema 3.2,3^º nos asegura que {x} . En virtud del Teorema 2.4,