Para terminar esta Sección, enunciaremos algunas propiedades adicionales que pueden poseer las relaciones binarias :

      Definición 4.6: Una relación binaria R se dice que está dotada de la Propiedad reflexiva, si dado (x,y) R, se cumple (x,x),(y,y) R .

      Definición 4.7: Una relación binaria R posee la Propiedad antisimétrica si dados (x,y),(y,x) se tiene x = y.

      Definición 4.8: Una relación binaria 1Z posee la Propiedad asimétrica cuando siempre que suceda que (x, y) R sea falso que (y, x) R.

1.5 Aplicaciones o funciones

      En algunos tratados de álgebra se hace distinción entre aplicación y función. Hemos preferido no incorporarla en este libro, puesto que en todo este contexto no precisamos emplearla.

      Definición 5.1: Una relación binaria f se dice función o aplicación si dados (x, y), (x, z) f se cumple y = z.

      Definición 5.2: Se llama dominio de una aplicación f a

      Rango o imagen de f se define como

       Una aplicación f se dice que es inyectiva si la relación binaria inversa f-1 es aplicación, es decir,

      De las Definiciones 4.2 y 5.1 se desprende trivialmente que

      Proposición 5.3: Sean f, g funciones. Entonces f o g es función.

      Notación 5.4: En lo sucesivo representaremos (x, y) f por

      que es el modo habitual de representar las funciones. Además, si X es un conjunto, se define el “conjunto imagen de X por la aplicación f” como

      La notación inicial, como pares ordenados, se llamará gráfica de la aplicación, y será representada por el símbolo si la aplicación en cuestión es /.

      También se define

      Los elementos de f-1(Y) son llamados “antiimágenes de Y por la aplicación f” mientras que los elementos de f(X) se conocen con el nombre de “imágenes de X por f”.

      Proposición 5.5: Sean f y g dos funciones. Entonces f = g si y sólo si f(x) = g(x), ∀x.

       Demostración :

      Llamemos y = f(x) = g(x). Debido a

      f = g en virtud del Axioma de extensión.

      Vamos a introducir el quinto axioma :

       V Axioma de sustitución

       Si f es una función y su dominio def f es conjunto, entonces Imf es conjunto.

      Proposición 5.6: Sean A, B dos aplicaciones. Entonces

      Demostración :

      Tomemos un z Im(AoB). Existe un x de manera que AoB(x) = z. Llamemos y = B(x) y por tanto z = A(y). Entonces y Im B, y def A, es decir,

      En consecuencia,

      La inclusión contraria prueba invirtiendo el proceso de la demostración.

      Probemos la última expresión. Elijamos un x def(A o B) y llamemos y = B(x). Entonces y Im B con y def A, es decir,

      y por tanto,

      Veamos la inclusión contraria. Tomemos x B-1(def A Im B). Esto hace que B(x) def A Im B, de donde B(x) def A, y por tanto x def (A o B).

      Definición 5.7: Una aplicación f que tome valores en X y sus imágenes estén en Y se escribe f : X → Y.

      Una aplicación Ix : X → X se dice que es la aplicación identidad sobre X

      si

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