Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

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Estructuras de álgebra multilineal - Joaquín Olivert Pellicer


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rel="nofollow" href="#fb3_img_img_aa45b8d2-3a1a-5cfe-9072-67815462467d.jpg" alt="image"/>-primer elemento z. Este z debe coincidir con u o con v, es decir que es falsa una de las proposiciones, a saber: (u,v) image image o (v,u) image image. Luego image posee la Propiedad asimétrica.

      Si image no fuera transitiva, habría elementos u, v, w de X que cumplirían (u, v) image image, (v, w) image image (w, u) image image, puesto que image conecta a X. Entonces el subconjunto {u} image {v} image {w} image X no tendría image-primer elemento, lo cual es contradictorio en los conjuntos bien ordenados.

      Definición 1.5: Y es una -sección de X si Y X y ordena bien a X de manera que para cada u, v tales que u image X, v image Y con u v se tenga que u £7.

      En otras palabras, diremos que, si un orden image ordena bien a un conjunto X, un subconjunto Y de X será una image-sección si ningún elemento de X ~ Y precede a los elementos de Y.

      Proposición 1.6: Si y ≠ , y cada elemento de y es una -sección de x, entonces y, y son -secciones de X.

       Demostración :

      Obsérvese que los elementos de image y o de image y pueden precederse unos a otros; pero ningún elemento de los complementarios x ~ image y o de x ~ image y precede a los elementos de las clases citadas. En consecuencia, image y y image y verifican las condiciones dadas en la Definición 1.5 para que sean image- secciones.

      Teorema 1.7: Si Y es una image-sección de X con Y ≠ X, entonces existe un v image X de manera que

image

      Demostración :

      Sea y es una image-sección de X que no coincide con X. Debido a que TZ ordena bien a X y X ~ Y X, la Definición 1.2 asegura que X ~ Y posee ft-primer elemento v. Si consideramos que u £ X con u v, résulta que u X ~Y. Con ello se ha probado que

image

      Tomemos u Y. Por ser Y image-sección, es falso que v u. Y como image ordena bien a X, uv. Esto prueba la inclusion contraria.

      El siguiente resultado es inmediato por lo que lo damos sin ningún comentario :

      Proposición 1.8: Dadas dos -secciones Y, Z de X, se verifica que Y Z ó Z Y.

      Definición 1.9: Consideremos dos órdenes , S. Se dice que una aplicación f conserva el orden -S si 1Z ordena bien a def f y S ordena bien a Im f de manera que f(u) S f(v) si u v.

      Teorema 1.10: Si ordena bien a X y f es una aplicación de una - sección Y en X, de manera que conserve el orden -, entonces es falso que f(u) u, ∀ u image Y.

       Demostración :

      Basta probar que

image

      Supongamos que no lo sea. Entonces posee un ft-primer elemento v, que por pertenecer a Y', f(v) v; y al conservai / el orden, f(f{v)) f{v).

      Si tomamos un u image X de manera que u v, resulta que u Y' (ya que v es un ft-primer elemento de y’), y por tanto, o u f(u), o u = f(u). Del mismo modo se tiene que f(v) Y' que conduce a que, o f(v)f (f(v)), o f(v) = f (f(v)), que resulta ser contradictorio con lo anterior. Esto hace que Y' = image.

      Teorema 1.11: Si f conserva el orden image-S, entonces f es una aplicación inyectiva y f-1 conserva el orden S-image.

      Demostración :

      Tomemos

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      Entonces no puede verificarse por separado x y ni yx. En consecuencia, x = y.

image

      Consideremos que f(u) S f(v). Entonces u ≠ v; y debido a que f conserva el orden - S, u v. Esto hace que f-1 conserve el orden S - .

      Teorema 1.12: Si f y g son aplicaciones de X en Y que conserven el orden - S, def f y def g son secciones de X, e Im f, Im g son secciones de Y, entonces f g ó g f.


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