Si C es no vacía, tendrá un -primer elemento u, que verificará obviamente f(u) ≠ g(w). Supóngase que f(u) S g(u). Dado que Im g es una «S -sección de Y, f(u) Im g. (Recuérdese que no existen elementos fuera de las seciones que precedan a sus elementos). Luego existe un v X que verifique g(v) = f(u). Esto hace que g(v)Sg(u). Ahora bien, como y^-1 conserva el orden S-, resulta que vu. Pero u es el primer elemento de C en donde las aplicaciones difieren, lo que es una contradicción. Esto conduce a afirmar que C = 0, por lo tanto se cumple (1.12.1).

      Teorema 1.13: Si ordena bien a X y S ordena bien a Y, existe una única función f que conserva el orden - S, tal que def f = X ó Im f = Y.

       Demostración :

      La cuestión que plantea el enunciado de este teorema no es la existencia de aplicaciones de X en Y que conserven el orden -S, pues estas funciones son fáciles de definir debido a que X e Y están bien ordenados, y se puede aprovechar esta circunstancia para ello. Además se construyen de manera que sus dominios de definición sean -secciones, y sus imágenes S -secciones. Pero eso no asegura que sus dominios sean X y sus imágenes Y. Representemos por g las aplicaciones de este tipo. El teorema prueba que existe una única aplicación cuyo dominio es X o su imagen, Y.

      Definamos

      Esta relación binaria es una aplicación, ya que si existiesen dos aplicaciones g1, g2 con u def g1 ⋂def g2, el Teorema 1.12 asegura que g₁(u) = g2{u).

      Veamos que def f es una –sección e Im f es una S– sección :

      Esto es evidente debido a que def f es unión de -secciones de tipo def g e Im f es unión de «S-secciones Im g.

      Probemos que def f = X ó Im f = Y :

      Si no lo son, existe un - primer elemento it de X ~ def f y un -imprimer elemento v de Y ~ Im f. Entonces la función f ⋃ {(u, v)} también conserva el orden - S. Luego existe un g de manera que (u, v) g, y, por definición de f, se tiene que f.

      Podemos repetir el razonamiento hasta llegar a que def f = X ó Im f = Y.

      Corolario 1.14: Si H ordena bien a X y S ordena bien a Y, de manera que X sea un conjunto e Y una clase propia, existe una función f que conserva el orden -S de manera que def f = X. Demostración :

      Está claro que no se puede verificar que Im f = Y, ya que Im f es conjunto e Y clase propia. Esto hace que, según el Teorema 1.13, def f = X.

2.2 Ordinales y números ordinales

      Entre las clases bien ordenadas, la clase de los números ordinales es un ejemplo de ellas. En esta Sección nos dedicaremos a construir esta clase, y para ello definiremos el concepto de ordinal con sus propiedades más características.

      Empecemos introduciendo un nuevo axioma :

       VII Axioma de regularidad

       Si x ≠ 0, existe un elemento y x que verifica

      El enunciado de este axioma puede prestarse a confusión en el sentido de que podría pensarse que x ⋂ y = y, en vez de x ⋂ {y} = {y} que simpre es cierta. Efectivamente, x ⋂ y está formado por los elementos comunes de x y de y. El axioma anterior precisamente exige que al menos un elemento de x no tenga elementos comunes con x.

      Consecuencias inmediatas de este axioma son :

      Proposición 2.1: x ≠ x.

       Demostración :

      Lo probaremos por reducción al absurdo :

      Consideremos que x x, entonces x es un conjunto no vacío, y por tanto es, a su vez, el único elemento de {x}, es decir, y = x. Ahora bien, por el último axioma, existe un y {x} tal que

      Pero este resultado contradice el hecho que y y {x}.

      Ahora estamos en condiciones de aceptar como válida la posible intuición (que seguramente tuvo el lector al leer la introducción del capítulo anterior) de que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Esta intuición es una verdad lógica si aceptamos el Axioma de regularidad. En estas circunstacias, la clase de Russell R coincide con la clase universal .

      Proposición 2.2: Es falso que x y ∧ y x.

       Demostración :

      Consideremos que x y, y x. En consecuencia, x, y son conjuntos, y son los únicos elementos de la clase

      Aplicando el Axioma de regularidad, se llega a una contradicción, ya que ningún elemento de A posee intersección vacía con la clase A.

      Definición 2.3: Se llama clase E la clase de pares ordenados

      De esta misma definición, se desprende que E es una relación binaria, que posee la Propiedad asimétrica.

      Teorema 2.4: La clase E es propia.

       Demostración :

      Consideremos

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