Con ello se ha probado que la relación anterior es válida para todo ordinal.

2.3 Axioma de elección. Proposiciones equivalentes

      Definición 3.1: Una función de elección es una aplicación F de manera que F(x) x para cada elemento x no vacío del dominio de F.

      Con este nuevo concepto, enunciamos el Axioma de elección en la modalidad dada por Godei :

       VIII Axioma de elección

      Existe un función de elección F cuyo dominio es ~ .

      En realidad la función de elección selecciona un elemento de cada conjunto no vacío.

      Si se restringe este axioma a cada conjunto no vacío se tiene la versión de este axioma dada por Zermelo :

       Axioma de elección de Zermelo

      Para cada conjunto no vacío X existe una función de elección

      definida en P(X)~ (P(X): partes de X).

      Evidentemente el Axioma de elección implica el Axioma de Zermelo.

      Estudiemos sus consecuencias :

      Los teoremas que vamos a probar se basan en el Axioma de elección; pero con pequeñas variantes en las demostraciones también son válidos a partir del Axioma de Zermelo.

      .

      Teorema 3.2: (de numerabilidad) Si x es un conjunto, existe una aplicación biyectiva, cuya imagen es x y su dominio es un número ordinal.

      Demostración :

      Construimos una función f de la siguiente manera: Sea la aplicación definida como g(h) = F{x ~ Im h), donde h es conjunto. En virtud del Teorema 2.26, existe una aplicación F, cuyo dominio es un ordinal y que verifica f(u) = g(f|_u)para cada número ordinal u. Entonces f{u) = F{x~Im f|u).

      Si u def f, f(u) es conjunto (Teorema 5.9 del Capítulo 1), y por tanto

      Probemos que f es una biyección: Partimos de

      Si v, u son distintos, uno será mayor que el otro (por ser ordinales). Sea, por ejemplo, v < u. Y ello conduce a que f{v) Im f|u. Pero por (3.2.2), f(u) Im f|, que contradice (3.2.1). Luego / es una inyección.

      Evidentemente def f ≠ , pues de lo contrario f^-1 sería una aplicación, cuyo dominio sería una subclase de x y, por tanto, subconjunto (por serlo x). Por el Axioma de sustitución, Ö sería un conjunto, hecho que hemos probado que no lo es. Entonces def f £ . Llamemos u a def f.

      Puesto que def f def f en virtud de la Proposición 2.2, es decir, u no es elemento de def f, u deff/, y el Teorema 5.9 citado asegura que f(u) = y, por tanto, F(x ~ Im f) = . Pero el dominio de F es ~ , y aplicando de nuevo el Teorema 5.9,

      es decir, x = Im f. Entonces f|_def es una aplicación biyectiva entre el ordinal def f y el conjunto x.

      El siguiente teorema también es debido a Zermelo :

      Teorema 3.3: (de la buena ordenación) Todo conjunto admite un buen orden.

      Demostración :

      Consideremos un conjunto X. Por el teorema anterior, existe una biyección f entre X y un ordinal y. Construyamos a partir de f un buen orden en X, definiendo la relación de orden

      A su vez de este resultado deducimos la siguiente proposición :

      Teorema 3.4: Si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, entonces existe un conjunto C que contiene exactamente un elemento de cada elemento de X.

       Demostración :

      Llamemos Y = X. Por el Axioma de amalgamación, Y es un conjunto. Cada elemento u de X es un conjunto y, por el Corolario 3.3, u está bien ordenado. Elijamos su primer elemento. Definimos una aplicación de manera que (u) sea el primer elemento de u, entonces

      Y por el Teorema 2.1 del Capítulo 1, C es conjunto.

      Teorema 3.5: El Teorema 3-4 implica el axioma de Zermelo.

       Demostración :

      Sea X un conjunto, y definamos

      Obviamente existe una biyección entre X e Y, por lo que resulta que Y es conjunto, con la propiedad de que sus elementos son disjuntos dos a dos. En virtud del Teorema 3.4, construyamos la relación binaria

      El mismo teorema prueba que para cada u existe un solo v, por lo que f es una función. Se obtiene de inmediato el Axioma de Zermelo si sustituimos X por P(X). En este caso f sería la función de elección.

      Con estos teoremas estudiados, se ha puesto de manifiesto que el Axioma de elección de Zermelo, el Teorema de numerabili dad, el Teorema de la buena ordenación de Zermelo y la Proposición

      3.4 son equivalentes. De hecho en muchas ocasiones algunos autores toman esta última proposición como el axioma de elección.

      El Axioma de elección de Zermelo posee otras equivalencias que vamos a tratar. Se necesita otros conceptos como es el de cadena, el de elemento maximal y el de conjunto inductivo. El primero de ello se enuncia como :

      Definición 3.6: Una clase k se dice que es una cadena si para x, y k arbitrarios se

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