En virtud del Teorema 2.26, existe una función /, en la que def / es ordinal y que f(u) = g(f|u) para todo ordinal u. Por definición de g, dado u def f, f(u) = g(f|u) = F(Y fu) £ Y fu. Luego /(tt) es una cadena de x, y por tanto f(u) ⊂ x.

      Tomemos u,v def f distintos. Al ser u, v ordinales, uno es estrictamente mayor que el otro. Consideremos, por ejemplo, u < v; lo que es equivalente a que u v. Entonces f(u) f(v), luego f(u) ≠ f(v). Por consiguiente, F es inyectiva. Esto hace que f^-1 sea una aplicación. A partir de esta conclusion y puesto que X es conjunto, el Axioma de sustitución asegura que Im f^-1 = def f es conjunto, es decir, un númro ordinal, esto hace que def f . lamemos n este ordinal. Con ello se obtiene que, puesto que def f def f, n def f; y por tanto f(n) = , es decir, g(f) = g(f|deî) = . Pero esto contradice el hecho de que g(f) es un elemento de Y), o lo que es lo mismo g(f) no sería una cadena. Por consiguiente, no hay ninguna cadena contenida en x y que contenga propiamente a cada elemento de Imf. Ahora bien, por construcción de /, Im f es una cadena, y cada miembro de Im f es una cadena por ser imagen de un ordinal. Entonces, en virtud del Lema 3.7, Im f es una cadena que contiene a todo elemento de Im f. Llamemos, pues, n = lm f.

      Definición 3.9: Una clase Xx se dice que está parcialmente ordenada respecto a la relación binaria si x y e y z, entonces x z.

      Es decir que sólo se exige que la relación binaria posea la Propiedad transitiva. En realidad, de acuerdo con el Teorema de la buena ordenación, todo conjunto admite un buen orden respecto a la relación de orden definida en el Teorema 3.3. Para esta relación todo conjunto está parcialmente ordenado; pero puede suceder que no lo sea para otro tipo de relaciones binarias.

      Definición 3.10: Sea A un subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado con la relación binaria . Se dice que c X es cota superior de A si y c para todo y A. Y se dirá que c es cota inferior de A si c y para todo y A. La menor de las cotas superiores de un conjunto se ¡lama supremo, y la mayor de las cotas inferiores es llamada ínfimo.

      Un elemento m A se dirá que es maximal si no existe ningún elemento y A que verifique que m y. Y se dirá minimal si tampoco existe un y A tal que y m.

      Definición 3.11: Sea X un conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden . Se dice que X es un conjunto inductivo (o inductivamente ordenado) si toda cadena posee una cota superior.

      Con estas nuevas definiciones, prosigamos estudiando consecuencias del Axioma de elección y sus equivalencias.

      Teorema 3.12: (Lema de Zorn) Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal. Demostración :

      Sea X un conjunto inductivamente ordenado por una relación de orden . Para cada a x definimos

      y con Xa, construimos S = {X_a :a x }.

      La aplicación

      es biyectiva y conserva el orden, es decir,

      Esto implica que S es inductivo con la relación de inclusión C, luego en virtud del Teorema 3.8 posee un elemento maximal, y por lo tanto X también lo tiene.

      Teorema 3.13: Todo elemento de un conjunto inductivamente ordenado precede a un elemento maximal. Demostración :

      Sea A un conjunto inductivamente ordenado y tomemos u A. Formemos la siguiente

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