Pero esta clase contradice el Axioma de regularidad, lo que es absurdo y, por tanto, E no es un conjunto.

      Estudiada la clase E, podemos ocuparnos ampliamente del concepto de ordinal a partir de una definición previa.

      Definición 2.5: Una clase x se dice que es o está saturada (o completa) si y sólo si cada elemento de x es un subconjunto propio de x (es decir, un subconjunto distinto de x).

Definición 2.6: x es un ordinal si x es una clase saturada y E conecta a x

      Analicemos detenidamente este concepto: Por definición de E resulta que, dados dos elementos distintos de x, uno es elemento del otro. Además, los elementos de los miembros de x son elementos de x (Condición de saturación de una clase), lo que dota a E de la Propiedad transitiva en x.

      Teorema 2.7: Si x es ordinal, E ordena bien a x.

       Demostración :

      Para que E ordene bien a x, tiene que conectarlo, hecho que por definición de ordinal ya se verifica. Además debe cumplir la Propiedad asimétrica y que todo subconjunto posea un E-primer elemento, de acuerdo con la Definición 1.2.

      Tomemos u,v x, de manera que u v, es decir, u £ v. Por la Proposición 2.2, es falso que v Eu. Luego la relación binaria E posee en x la Propiedad asimétrica.

      Consideremos y un subconjunto no vacío de x. Por el Axioma de regularidad, y posee un elemento u tal que

      es decir que ningún elemento de y pertenece au. En consecuencia, u es el E-primer elemento de y.

      Proposición 2.8: Si x es un ordinal, y C x con y / x y de manera que y también sea saturado, entonces y x.

       Demostración :

      Basta probar que E conecta a y. Tomemos u E v, v E y. Por ser y saturado, u E y. Esto hace que y es una .E - sección de x. En virtud del Teorema 1.7, existe un wx tal que

      Ahora bien, como cada elemento de w pertenece a x, resulta que

      es decir, y = w, o lo que es lo mismo y x.

      Nota 2.9: Este último teorema prueba que y es un ordinal, si tenemos en cuenta la Definición 2.6, ya que al estar x üJ-conectado y también lo está.

      Proposición 2.10: Si x e y son ordinales, entonces x y ó y x.

       Demostración :

      Si x ey son iguales, se verifica trivialmente el teorema. Si son distintos, es obvio que la clase x y está saturada, puesto que a; e y lo están. Por el teorema anterior, o x y = x, o x y x. El primer caso es equivalente a x y. En cambio, si x y x, entonces x y (pues si cumpliese también x y y, se verificaría x y x y, lo que contradice la Proposición 2.1). Ahora bien, como x y es subconjunto de y e y es saturado, x y debía ser elemento de y (y hemos visto que no lo es). La única posibilidad que queda es

      Corolario 2.11: Si x e y son ordinales, entonces, o x y, o y x, o y = x.

      Demostración :

      Supongamos que sean distintos. Entonces la Proposición 2.10 asegura que x y o y x. Ahora bien, como x e y están saturados y son distintos, aplicamos la Proposición 2.8, con lo que, o x y, o y x.

      Teorema 2.12: Si x es un ordinal e y x, entonces y es un ordinal. Demostración :

      Por ser x un ordinal, es saturado; y por tanto y x (Definición 2.5). Esto hace que E también conecte a y.

       Hemos de ver que y también es saturado :

      Por de pronto, E conecta a y, puesto que E conecta a x. Ahora bien, dado que E es transitiva en x, también será transitiva en y. Por consiguiente, si tomamos un elemento v £ y y un elemento u v, por la Propiedad transitiva de E, u y; es decir,

      Luego y está saturado. En virtud de la Definición 2.6, y es un ordinal.

      Definición 2.13: Representaremos la clase de los ordinales por

      Teorema 2.14: es una clase propia que es un ordinal. Demostración :

      El Corolario 2.11 y la Proposición

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