Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer
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rel="nofollow" href="#fb3_img_img_e6c22d4f-3999-571e-8ed6-739d03c7c5b5.jpg" alt="image"/>, entonces x + 1 es ordinal y es el E-primer elemento de
Demostración :
Evidentemente x
Supongamos que exista un elemento
con u < x + 1 . Esto hace que u
Proposición 2.22: Si x
Trivial.
Definición 2.23 :
Proposición 2.24: Si f es una aplicación, f|x es una función de dominio def|x = x ⋂def f, y además
También es una proposición inmediata de la Definición 2.23.
Finalizamos esta Sección estudiando ei teorema final de los ordinales que, a su vez, precisa de un lema previo.
Lema 2.25: Sea f una aplicación tal que su dominio sea un ordinal y sea g una función que verifique f(u) = g(f|u) para cada u
Al ser def f y def h ordinales, podemos suponer que def f ⊂ def h (en virtud del Teorema 2.10).
Probemos que f(u) = h(u), ∀u
Supongamos que no se verifica. Consideremos que u sea el E-primer elemento de def f tal que F(u) ≠ h(u). Entonces f(v) = h(v) para los elementos v E-anteriores a u, es decir, v
Sabido esto, como las imágenes de estas dos funciones coinciden en def f, resulta que f ⊂ h.
Se prueba la inclusión contraria si se hubiera partido de def h ⊂ def f.
Teorema 2.26: Para cada g existe una función f, cuyo dominio def / es un ordinal, que verifica f(x) = g(f|x) para todo número ordinal x.
Demostración :
Probaremos este teorema tanto para ordinales x
Para el primer caso, definamos la relación binaria f del siguiente modo: Los pares ordenados (u, v)
Debido a que las restricciones de h coinciden (Lema 2.25), f es una función. Además, de la definición de sección (Definición 1.5) y de la Proposición 2.8, resulta que def f es una E-sección de
Consideremos ahora x
Por otra parte, al ser def f conjunto, el Corolario 6.3 del capítulo citado asegura que / es conjunto.
En el caso de que f