Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

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Estructuras de álgebra multilineal - Joaquín Olivert Pellicer


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      Trivial

      Definición 1.9: image Esta clase es llamada clase vacía.

      Teorema 1.10:image

       Demostración :

      Puesto que x = x, es falso que image Y por la Definición 1.4 y la Definición 1.9, .

      Esta propiedad nos permite afirmar que la clase vacía no contiene ningún elemento.

      Se tiene de inmediato de image que

image

      Definición 1.11: Se llama clase universal a

image

      En virtud del Axioma de clasificación, es la clase de todos los conjuntos.

      Se cumple :

image image

      Se puede probar utilizando la difinición de image, la Propiedad image, el Teorema de De Morgan y la Proposición 1.6.

image image

      Obsérvese que los elementos de image x no son en general elementos de x; sino que son elementos de y, aunque éstos sean elementos de x. Un ejemplo aclarará este aserto :

      Pensemos en una Federación de pueblos. Cada pueblo será miembro de la Federación, representado por su alcalde; pero los ciudadanos de un pueblo no son miembros de la Federación, salvo su alcalde que lo es, no como ciudadano, sino en calidad de representante de su municipio.

      En cuanto a image, pensemos en la comunidad europea, que la representaremos por x. Esta está formada por naciones. Pero cada nación estará definida por sus habitantes y las leyes con que se rige. Está claro que estos estados, por pertenecer a la comunidad, tendrán leyes comunes. Pues bien, estas leyes comunes a todos ellos serán image x. Por otra parte, image x estará formada por los miembros de todos los países que configuran la comunidad, así como las leyes vigentes en cada una de ellos. ¡Desde luego image x no sería muy aconsejable políticamente!

      Teorema 1.13: image

       Demostración :

      Tomemos un image. De su definición y del Axioma de clasificación, se sigue que 2 es conjunto que tiene que verificar que

image

      Pero image es falsa. Esto conduce a que (1.13.1) es verdadera en virtud de la definición del implicador image. No sólo eso, sino que (1.13.1) es verdadera para cualquier conjunto z de .

      En cuanto a la segunda igualdad, está claro que image no posee ningún elemento. Luego por el Axioma de extensión debe coincidir con image.

      Definición 1.14: Se dice que x está contenido en y si y sólo si para cada z

image

       Entonces se dirá que la clase x es subclase de la clase y. Se simboliza

image

       y se lee “x está contenido en y”.

      Fijémonos: el símbolo image (llamado también relación de inclusión) es totalmente distinto al símbolo de pertenencia image. Veamos el ejemplo de los pueblos :

      Si definimos un pueblo como una clase de casas. Está claro que los inquilinos de las casas no son elementos del pueblo, sino que son miembros de sus respectivas casas (los elementos del pueblo son sus casas, según la definición que hemos dado de pueblo).

      En cambio si definimos el pueblo como una clase de individuos. Cada habitante será elemento del pueblo, y las casas dejarían de serlo. Pero cada casa posee sus inquilinos (sus elementos), que son a su vez elementos del pueblo. En tal caso, las casas serían subclases de la clase pueblo.

      Teorema 1.15:image

       Demostración :

      En cuanto a la primera inclusión, tomemos un z arbitrario y analicemos la siguiente implicación

image

      Al ser falsa image, resulta que esta implicación es verdadera, independientemente del valor de verdad que tenga z image x.

      En la image inclusión se razona del siguiente modo: Sea z image x., entonces z es conjunto y, por tanto, z image image. En virtud de la Definición 1.14, image

      Obsérvese


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