Obsérvese que los elementos de x no son en general elementos de x; sino que son elementos de y, aunque éstos sean elementos de x. Un ejemplo aclarará este aserto :

      Pensemos en una Federación de pueblos. Cada pueblo será miembro de la Federación, representado por su alcalde; pero los ciudadanos de un pueblo no son miembros de la Federación, salvo su alcalde que lo es, no como ciudadano, sino en calidad de representante de su municipio.

      En cuanto a , pensemos en la comunidad europea, que la representaremos por x. Esta está formada por naciones. Pero cada nación estará definida por sus habitantes y las leyes con que se rige. Está claro que estos estados, por pertenecer a la comunidad, tendrán leyes comunes. Pues bien, estas leyes comunes a todos ellos serán x. Por otra parte, x estará formada por los miembros de todos los países que configuran la comunidad, así como las leyes vigentes en cada una de ellos. ¡Desde luego x no sería muy aconsejable políticamente!

      Teorema 1.13:

       Demostración :

      Tomemos un . De su definición y del Axioma de clasificación, se sigue que 2 es conjunto que tiene que verificar que

      Pero es falsa. Esto conduce a que (1.13.1) es verdadera en virtud de la definición del implicador . No sólo eso, sino que (1.13.1) es verdadera para cualquier conjunto z de .

      En cuanto a la segunda igualdad, está claro que no posee ningún elemento. Luego por el Axioma de extensión debe coincidir con .

      Definición 1.14: Se dice que x está contenido en y si y sólo si para cada z

       Entonces se dirá que la clase x es subclase de la clase y. Se simboliza

       y se lee “x está contenido en y”.

      Fijémonos: el símbolo (llamado también relación de inclusión) es totalmente distinto al símbolo de pertenencia . Veamos el ejemplo de los pueblos :

      Si definimos un pueblo como una clase de casas. Está claro que los inquilinos de las casas no son elementos del pueblo, sino que son miembros de sus respectivas casas (los elementos del pueblo son sus casas, según la definición que hemos dado de pueblo).

      En cambio si definimos el pueblo como una clase de individuos. Cada habitante será elemento del pueblo, y las casas dejarían de serlo. Pero cada casa posee sus inquilinos (sus elementos), que son a su vez elementos del pueblo. En tal caso, las casas serían subclases de la clase pueblo.

      Teorema 1.15:

       Demostración :

      En cuanto a la primera inclusión, tomemos un z arbitrario y analicemos la siguiente implicación

      Al ser falsa , resulta que esta implicación es verdadera, independientemente del valor de verdad que tenga z x.

      En la inclusión se razona del siguiente modo: Sea z x., entonces z es conjunto y, por tanto, z . En virtud de la Definición 1.14,

      Obsérvese

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