Методы и средства обеспечения безопасности полета. В. Б. Живетин
Читать онлайн книгу.
параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τП. На рис. 1.17 представлен график зависимости (1.16).
Теперь, исключив величину δn из системы (1.14), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δe(t):
Рис. 1.17
После определения величины δe из уравнения (1.17) неизвестная величина δn может быть определена из первого уравнения (1.14). Если решение (1.17) получено численно, то для вычисления δn необходимо использовать третье уравнение из (1.14), поскольку численное дифференцирование δe приводит к появлению существенных погрешностей.
Если коэффициенты уравнения (1.17) постоянны, то несложно получить его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение
τDτkλ2 + (τD + τk) λ + [1 – (1 – γ)(1 + П*)] = 0, (1.18)
решения которого
Если равенство (1.15) не выполняется, то в зависимости от величины и знака дискриминанта Δ корни λ1,2 будут вещественными или комплексными. Введем следующие обозначения:
a = τD + τk; b = 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + П*)].
Тогда А = a2 – b.
Величина a, как правило, положительна. Она будет отрицательна, если одна из величин – τD или τk – отрицательна, и при этом τD + τk < 0. Это означает, что рассматривается процесс не с запаздывающим, а с опережающим аргументом. Например, выданные в кредит деньги возвращаются не после, а до выдачи кредита. Эти и аналогичные им случаи здесь не рассматриваются. Примем, что a > 0 всегда.
Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения величин a2 и b дискриминант Δ может иметь разный знак.
Рассмотрим следующие случаи.
При a2 > b дискриминант Δ > 0, и оба корня уравнения (1.18) вещественны. В этом случае общее решение уравнения (1.17) имеет вид
δe = exp(–at)[((c1 + c2)/2)exp(ct) + ((c1 c2)/2)exp(–ct)], (1.20)
где c =
Случай b = 0 соответствует равновесному состоянию рассматриваемой системы, при этом выполняется условие (1.15), Δ = a2 и λ12 = –a ± a, то есть λ1 = 0, λ2 = –2a. Тогда общее решение (1.20) запишется в виде
δe = (c1 + c2) / 2+((c1 – c2) / 2)exp(–2at).
Равновесное состояние δe = (c1 + c2) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1=c2. Если же c1 ≠ c2, то в силу того, что a > 0, данное состояние реализуется для больших значений t, при этом
δe ≈ (c1+c2) / 2, (1.21)
а при t, стремящемся к бесконечности, условие δe=(c1+c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2. Таким образом, состояние δe=(c1+c2) / 2 обладает устойчивостью финансового потока по отношению к начальным возмущениям (рис. 1.18).
Рис. 1.18
При