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empresas escogen los precios.

5.2.2 El modelo lineal de Hotelling

      Ahora pasamos a un modelo de diferenciación horizontal de productos donde las empresas escogen los precios además de las ubicaciones. Queremos saber si nuestro hallazgo sobre la diferenciación mínima también es válido si las empresas eligen los precios.

      Como antes, los consumidores tienen un valor de reserva r para su producto ideal. Un consumidor de tipo x se ubica en algún punto x del intervalo [0, 1]. Los consumidores le compran a alguna de las empresas hasta una unidad de producto. La empresa i está ubicada en li en algún punto del intervalo [0, 1], cobra un precio pi y los consumidores deben viajar hasta la empresa si deciden visitarla. Por el momento, mantenemos el supuesto de que los consumidores incurren en costos de transporte lineales t(|x – li|) = τ|x – li|, donde el parámetro de costos τ mide la sustituibilidad entre cualquier par de productos dados. Si un consumidor de tipo x compra el producto i, entonces obtiene una utilidad vi(x) = r – τ|x – li|– pi.

      Como en el modelo anterior, suponemos que los consumidores se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1] y tienen masa 1. En este mercado, analizamos un duopolio donde primero las empresas deciden simultáneamente qué ubicación escoger (o, equivalentemente, qué producto producir) y luego fijan simultáneamente los precios. En este juego de dos etapas, queremos caracterizar los equilibrios perfectos en subjuegos.

      Para analizar este mercado, consideramos primero el juego de precios para localizaciones dadas. Sin pérdida de generalidad, podemos nombrar a las empresas de modo que l₁ ≤ l₂. Supongamos que las empresas están en ubicaciones diferentes y que la diferencia en el precio es lo suficientemente pequeña como para que algunos consumidores prefieran el producto 1 y otros el 2. Entonces, existe un consumidor a quien le resulta indiferente escoger cualquiera de los dos productos. Este consumidor indiferente está dado por Podemos resolver para y obtener

      En particular, si las empresas fijan ubicaciones simétricas (esto es, si l₁ = 1 – l₂) y fijan el mismo precio, el consumidor indiferente se ubica en 1/2 y cada empresa obtiene la mitad de la demanda. Pero, ¿qué queremos decir con que la diferencia de precios sea “lo suficientemente pequeña”? La diferencia de precios admisible está determinada por las condiciones para que esté entre l₁ y l₂. Esto es,

      ¿Qué pasa si una de estas condiciones no se cumple? Comencemos suponiendo que la primera condición se cumple con igualdad: p₁ = p₂ + τ (l₂ – l₁), de manera que el consumidor indiferente se sitúa exactamente en la ubicación de la empresa 1 Ahora consideremos cualquier consumidor a la izquierda de l₁, por ejemplo Debido a los costos lineales de transporte, a este consumidor también le resulta indiferentes escoger entre el producto 1 y el 2:

      La intuición de este resultado es la siguiente: en comparación con el consumidor ubicado en l₁, el consumidor ubicado en incurre en el mismo costo extra de transporte cuando consume el producto 1 o el 2; por lo tanto, si al primero le es indiferente cuál producto escoger, al segundo también.^[10] Ahora, dado p₂, si la empresa 1 disminuye levemente su precio, todos los consumidores a la izquierda prefieren estrictamente el producto 1. Sin embargo, si la empresa 1 aumenta ligeramente su precio, todos los consumidores, incluyendo aquellos a la izquierda de l₁, prefieren estrictamente el producto 2. Esto es, para la empresa 1 obtendrá una demanda cero: Por lo tanto, existe una discontinuidad en los precios tal que a un consumidor en l₁ le resulta indiferente escoger entre el producto 1 y el 2. El mismo razonamiento aplica para la otra condición. Por lo tanto, es solamente para precios que respeten las dos condiciones arriba mencionadas que todos los consumidores localizados a la izquierda de le comprarán de la empresa 1 y todos los consumidores ubicados a la derecha le comprarán a la empresa 2. La elección del consumidor se ilustra en la figura 5.1.

      Entonces, podemos escribir los beneficios como la diferencia precio-costo multiplicada por la demanda:

      La función de beneficios se ilustra en la figura 5.2. Note que si la competencia se localiza dentro del intervalo (esto es, l₂ < 1), la función de beneficios de la empresa 1 tiene un salto hacia abajo. La razón para esto es la discontinuidad que identificamos en la función de demanda: debido a los costos lineales de transporte, una diferencia de precios muy grande lleva a que todos los consumidores le compren la misma empresa. En particular, a medida que p₁ aumenta, la empresa 1 comienza a atraer a todos los consumidores, pero comparte el mercado con la empresa 2 tan pronto como p₁ ≥ p₂ – τ (l₂ – l₁). Esto explica el salto hacia abajo en la función de beneficios, como lo ilustra la figura 5.2 (hay un segundo salto hacia abajo cuando p₁ se vuelve más grande que p₂ + τ (l₂ – l₁) a medida que la demanda de la empresa 1 cae a cero). En términos técnicos, π₁ tiene dos supremos locales y no es cuasicóncava en p₁. Por lo tanto, simplemente resolver las condiciones de primer orden puede generar errores. Solamente cuando ambas empresas se localizan en los extremos, las funciones de beneficios son cuasicóncavas, de manera que las soluciones a las condiciones de primer orden deben ser maximizadoras globales. Por lo tanto, si determinamos que las localizaciones deben estar en los extremos, tenemos un modelo de duopolio simple donde las condiciones de primer orden caracterizan los equilibrios. Usaremos esta especificación particular en varios lugares de este libro.

Figura 5.1 Elección del consumidor en el modelo lineal de Hotelling

Figura 5.2 Función de beneficios en el modelo lineal de Hotelling

      Aquí, queremos elaborar sobre la posibilidad de que las ubicaciones no necesariamente estén en los extremos. Entonces, aunque las funciones de beneficios no son cuasicóncavas, de todos modos

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